问题四十：对ray tracing圆环图形进行debug（2）——C++，用“笛卡尔”方法解一元四次方程

第七步：用“笛卡尔”方法解一元四次方程

“笛卡尔”方法也就是“待定系数法”

通过“式子八”可以解出s（可能有0到3个实根，这里真的可以随便取一个大于等于0的实根，因为“式子四”是两个式子乘积等于0，而不像“费拉里”方法中参数y的选择）；

将s代入“式子七”得到k；

将k代入“式子五”得到m、t；

将k、m、t代入“式子四”得到两个一元二次方程，可以解出实根y；

将y代入“式子二”得到原方程的根x；

对应代码：

bool roots_quartic_equation2(float a, float b, float c, float d, float e, float (&roots)[5]) {//the first element is the number of the real roots, and other elements are the real roots.//Descartes's Method.if (a == 0) {float *roots3;roots3 = roots_cubic_equation(b, c, d, e);for (int i=0; i<int(roots3[0])+1; i++) {roots[i] = roots3[i];}delete [] roots3;}else {float a1 = b/a;float b1 = c/a;float c1 = d/a;float d1 = e/a;float p = (-3*a1*a1)/8 + b1;float q = (a1*a1*a1)/8 - (a1*b1)/2 + c1;float r = (-3*a1*a1*a1*a1)/256 + (a1*a1*b1)/16 - (a1*c1)/4 + d1;float sa = 2*p;float sb = p*p - 4*r;float sc = -q*q;float k, m, t;float *roots_s = roots_cubic_equation(1.0, sa, sb, sc);for (int i=1; i<int(roots_s[0])+1; i++) {if (roots_s[i] >= 0) {//随便选一个大于等于0的实根k = sqrt(roots_s[i]);break;}else {if (i == roots_s[0]) {
/*如果遍历完了，还没有选到大于等于0的实根，说明所有实根都小于0，说明k无解，m、t无解，说明y无解，说明x无解*/roots[0] = 0.0;delete [] roots_s;return true;}}}delete [] roots_s;if (k == 0) {float *roots2;roots2 = roots_quadratic_equation(1, -p, r);if (roots2[0] == 0.0) {roots[0] = 0.0;delete [] roots2;return true;}else {m = roots2[1];t = roots2[2];}delete [] roots2;}else {m = (k*k*k + k*p + q) / (2*k);t = (k*k*k + k*p - q) / (2*k);}float *roots_y1;float *roots_y2;roots_y1 = roots_quadratic_equation(1.0, k, t);roots_y2 = roots_quadratic_equation(1.0, -k, m);if (roots_y1[0] != 0) {for (int i=1; i<roots_y1[0]+1; i++) {roots[i] = roots_y1[i] - a1/4;}}if (roots_y2[0] != 0) {int roots_y1_number = int(roots_y1[0]);for (int j=1; j<roots_y2[0]+1; j++) {roots[roots_y1_number+j] =roots_y2[j] - a1/4;}}roots[0] = roots_y1[0] + roots_y2[0];delete [] roots_y1;delete [] roots_y2;}return true;
}

接下来用新的解一元四次方程的函数验证一下“第五步”中的那个“多余”实根

main()中的代码：

        float roots[5];if (roots_quartic_equation2(159.627808, -909.279724, 2056.90576, -2171.1167, 891.264038, roots)) {for (int i=0; i<(roots[0]+1); i++) {std::cout << "roots[" << i << "]=" << roots[i] << endl;}}

输出结果：

第八步：验证新的解一元四次方程的函数的效果

修改bool tori::hit(const ray& r, float t_min, float t_max,hit_record& rec) const{}

中调用一元四次方程的代码如下：

输出图片如下：

对比“第二步”中的问题图片：

加上绿环，将单个像素点的采样次数设回100后的图片：

对比本章节最开始的问题图片：

哦也~~搞定~~

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