1.傅里叶级数

什么是傅里叶级数？

它是一种特殊形式的函数展开，将一个函数展开，用1,cosxcosx, sinxsinx等基底函数表示。任意两个基底函数在[0,2π][0,2\pi]上是正交的，正交的意思就是积分为0.

傅里叶级数一般表示

f(x)f(x)为周期函数：

f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n cosnx + b_n sinnx)}
可以求出3个系数：

a0=12π∫2π0f(x)dx

a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)dx

an=1π∫2π0f(x)cosnxdx

a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) cosnx dx

bn=1π∫2π0f(x)sinnxdx

b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) sinnx dx

狄利克雷(Dirichlet)定理说了什么？

它描述函数的收敛性，函数连续的地方收敛于f(x)f(x)，不连续的地方收敛于(f(x−0)+f(x+0))/2(f(x-0)+f(x+0))/2.

半幅傅里叶级数

如果函数不是周期性的，那么上面的一般表示形式不能用，但是可以展开为半幅傅里叶级数，半幅傅里叶级数有2种表现形式，分别为正弦和余弦。我的理解是因为它是半幅的，所以只需要sin或者cos就可以表示了。

正弦形式：

ϕ(x)=∑n=1∞CnsinnπxL

\phi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n sin \frac{n \pi x}{L}
展开系数：

Cn=2L∫L0ϕ(x)sinnπxLdx(n=1,2,3...)

C_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \phi(x) sin \frac{n \pi x}{L} dx \qquad (n=1,2,3...)
余弦的就不写了。

傅里叶积分

傅里叶积分与傅里叶级数的区别是什么？

前面2个级数分别对应周期和有限区间。傅里叶积分对应无限区间、非周期函数。

推导傅里叶积分的过程会用到绝对可积，它的的2个性质：

1.积分有限

2.当x为无穷大时，f(x)=0

原来傅里叶级数是这样的：

f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n cos \frac{n \pi}{L} x + b_n sin \frac{n \pi}{L}x)}
写成傅里叶积分是这样的：

f(x)=∫∞0[A(ω)cosωx+B(ω)sinωx]dω

f(x) = \int_0^\infty [A(\omega) cos \omega x + B(\omega) sin \omega x] d\omega
其中：

A(ω)=1π∫+∞−∞f(t)cosωtdt

A(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) cos \omega t dt

B(ω)=1π∫+∞−∞f(t)sinωtdt

B(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) sin \omega t dt

f(x)f(x)代表一个“信号”，系数A(ω)A(\omega)和B(ω)B(\omega)则是信号f(x)f(x)的频谱分布函数，分别对应于正交分量cosωtcos\omega t和sinωtsin \omega t，由信号得到频谱的过程称为傅里叶分析。

2.傅里叶变换

公式

可以从傅里叶积分推导出傅里叶变换，这中间引入了虚数了ii 。

f(x)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−iωtdteiωtdω

f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt e^{i \omega t} d\omega
得到：

F(ω)=∫+∞−∞f(x)e−iωxdx

F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i \omega x} dx

f(x)=12π∫+∞−∞F(ω)eiωxdω

f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i \omega x} d\omega

F(ω)F(\omega)为f(x)f(x)的傅里叶变换，f(x)f(x)为F(x)F(x)的傅里叶反变换。傅里叶变换与积分的区别在于ω\omega的变化范围由[0,∞)[0, \infty)扩展到(−∞,∞)(- \infty, \infty)。

一些特性

1.当ω=0\omega=0时，得到：

F(0)=∫+∞−∞f(x)dx

F(0) = \int_{- \infty}^{ + \infty} f(x) dx
这说明频谱在 ω=0\omega=0时值等于信号 f(x)f(x)的面积。

2.当x=0x=0时，得到：

f(0)=12π∫+∞−∞F(ω)dω

f(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} F(\omega) d\omega
这说明频谱积分给出函数在原点取值的 2π2\pi倍。

卷积定理

这是一个非常有用的定理：

f1(x)∗f2(x)↔F1(ω)F2(ω)

f_1(x)*f_2(x) \leftrightarrow F_1(\omega) F_2(\omega)

狄拉克(δ\delta)函数

它的两个特征：

1.x=x0x=x0时为0，其余为无穷

2.积分为1

它具有“筛选”性质。

它的一些性质：

1.它是偶函数

2.δ\delta函数与f(x)f(x)函数的卷积是f(x)f(x)本身

参考：

顾樵. 数学物理方法[M]. 科学出版社, 2012.

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