z变换与s变换之间的转换（一些零碎且不严谨的想法）

Z变换与“s变换”（拉普拉斯变换）的探讨

我们发现：z变换并不能直接对连续系统的传递函数G(s)进行z=esT,s=ln⁡zTz=e^sT,s=\frac{ln⁡z}{T}z=esT,s=Tln⁡z的简单替换。首先T的意义是采样信号的时间间隔，同时也是采样频率的倒数。而对于连续系统，“采样时间间隔”为0。
我们做如下对比：
∫−∞+∞f(t)e−stdt=G(s)\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^{-st}dt}=G(s)∫−∞+∞f(t)e−stdt=G(s)
∫−∞+∞f(t)δT(t)e−stdt=∑n=−∞∞f(nT)e−nsT=G(z)\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\delta_T(t)e^{-st}dt}= \sum_{n=-\infty}^{\infty}{f(nT)e^{-nsT}}=G(z)∫−∞+∞f(t)δT(t)e−stdt=n=−∞∑∞f(nT)e−nsT=G(z)
我们利用定积分的定义：
∫x1x2f(x)dx=lim⁡n→∞[∑i=0n−1(f(x1+i⋅Δx)⋅Δx)](Δx=(x2−x1)/n)∫_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}=\lim_{n→\infty} \left[\sum_{i=0}^{n-1}{(f(x_1+i⋅\Delta x)⋅\Delta x)}\right] (\Delta x=(x_2-x_1)/n)∫x1x2f(x)dx=n→∞lim[i=0∑n−1(f(x1+i⋅Δx)⋅Δx)](Δx=(x2−x1)/n)
所以，我们可以尝试这样的变换（自己推的哈哈，不会严谨的证明）：
lim⁡T→0⁡∑n=−∞∞(T⋅f(nT)e−nsT)=lim⁡T→0⁡[∑n=−∞∞(f(nT)e−nsT⋅T)]=∫−∞+∞f(t)e−stdt=G(s)\lim_{T\to0}⁡\sum_{n=-\infty}^\infty {(T\cdot f(nT) e^{-nsT})} =\lim_{T\to0}⁡\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(f(nT) e^{-nsT}⋅T)\right] =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-st}dt=G(s)T→0lim⁡n=−∞∑∞(T⋅f(nT)e−nsT)=T→0lim⁡[n=−∞∑∞(f(nT)e−nsT⋅T)]=∫−∞+∞f(t)e−stdt=G(s)
⇒lim⁡T→0T⋅G(z)=G(s)⇒\lim_{T\to0}{T⋅G(z)}=G(s)⇒T→0limT⋅G(z)=G(s)
如1(t)→1s→11−z−11(t)→\frac{1}{s}→\frac{1}{1-z^{-1}}1(t)→s1→1−z−11，（其他例子没试过。。。，这里用的是泰勒展开取前几项）（当然，求极限也可以用L’hospital rule(洛必达法则)）
lim⁡T→0T⋅11−e−sT→Taylor expansionlim⁡T→0T1−1−sT=lim⁡T→0TsT=1s\lim_{T→0}{T⋅\frac{1}{1-e^{-sT}}}\xrightarrow{\text{Taylor expansion}} \lim_{T→0}{\frac{T}{1-{1-sT}}}=\lim_{T→0}{\frac{T}{sT}}=\frac{1}{s}T→0limT⋅1−e−sT1Taylor expansionT→0lim1−1−sTT=T→0limsTT=s1
或许可以试试把s→1−z−1Ts→\frac{1-z^{-1}}{T}s→T1−z−1？（其实不行，一个直观的理由是：lim⁡T→0⁡1−z−1T=s\lim_{T→0}{⁡\frac{1-z^{-1}}{T}}=slimT→0⁡T1−z−1=s，但不过这只是一种满射（也就是说不止一种表达式的极限等于s），所以我们暂时只能利用极限从s域变为z域）

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