基于MATLAB的幂级数求和与展开（Taylor和Fourier算法）
目录
一. Taylor幂级数展开
1.1 单变量
例题1
例题2
1.2 多变量
例题3
二. Fourier级数展开
例题4
例题5
三. 级数求和
例题6
例题7
例题8
例题9
一. Taylor幂级数展开
1.1 单变量
在x=0点附近的Taylor幂级数如下：
在x=a点展开：
MATLAB格式：
%x=0进行Taylor幂级数展开
taylor(f,x,k)%x=a进行Taylor幂级数展开
taylor(f,x,k,a)例题1
求函数Taylor幂级数展开的前9项；并求关于x=2和x=a的Taylor幂级数展开。
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
syms x a;
f=sin(x)/(x^2+4*x+3);
y1=taylor(f,x,'order',9);
pretty(y1)taylor(f,x,2,'order',9)taylor(f,x,a,'order',5)运行结果：
ans =sin(2)/15 - ((131623*cos(2))/35880468750 + (875225059*sin(2))/34445250000000)*(x - 2)^8 + (x - 2)*(cos(2)/15 - (8*sin(2))/225) - ((623*cos(2))/11390625 + (585671*sin(2))/2733750000)*(x - 2)^6 + ((262453*cos(2))/19136250000 + (397361*sin(2))/5125781250)*(x - 2)^7 - (x - 2)^2*((8*cos(2))/225 + (127*sin(2))/6750) + (x - 2)^3*((23*cos(2))/6750 + (628*sin(2))/50625) + (x - 2)^4*((28*cos(2))/50625 - (15697*sin(2))/6075000) + (x - 2)^5*((203*cos(2))/6075000 + (6277*sin(2))/11390625)
ans =sin(a)/(a^2 + 4*a + 3) - (cos(a)/(a^2 + 4*a + 3) - (sin(a)*(2*a + 4))/(a^2 + 4*a + 3)^2)*(a - x) - (a - x)^2*(sin(a)/(2*(a^2 + 4*a + 3)) + (cos(a)*(2*a + 4))/(a^2 + 4*a + 3)^2 - (sin(a)*((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3)))/(a^2 + 4*a + 3)) - (a - x)^3*((sin(a)*((2*a + 4)/(a^2 + 4*a + 3)^2 - (((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3))*(2*a + 4))/(a^2 + 4*a + 3)))/(a^2 + 4*a + 3) - cos(a)/(6*(a^2 + 4*a + 3)) + (cos(a)*((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3)))/(a^2 + 4*a + 3) + (sin(a)*(2*a + 4))/(2*(a^2 + 4*a + 3)^2)) + (a - x)^4*(sin(a)/(24*(a^2 + 4*a + 3)) - (sin(a)*(((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3))/(a^2 + 4*a + 3) + ((2*a + 4)*((2*a + 4)/(a^2 + 4*a + 3)^2 - (((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3))*(2*a + 4))/(a^2 + 4*a + 3)))/(a^2 + 4*a + 3)))/(a^2 + 4*a + 3) + (cos(a)*((2*a + 4)/(a^2 + 4*a + 3)^2 - (((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3))*(2*a + 4))/(a^2 + 4*a + 3)))/(a^2 + 4*a + 3) + (cos(a)*(2*a + 4))/(6*(a^2 + 4*a + 3)^2) - (sin(a)*((2*a + 4)^2/(a^2 + 4*a + 3)^2 - 1/(a^2 + 4*a + 3)))/(2*(a^2 + 4*a + 3)))
例题2
对sinx进行Taylor幂级数展开，并观察不同阶次的近似效果。
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
x0=-2*pi:0.01:2*pi;
y0=sin(x0);
syms x;
y=sin(x);
plot(x0,y0,'r-'),axis([-2*pi,2*pi,-1.5,1.5]);
hold on
for n=[8:2:16]p=taylor(y,x,'order',n),y1=subs(p,x,x0);line(x0,y1);
end运行结果：
p =- x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x
p =x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x
p =- x^11/39916800 + x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x
p =x^13/6227020800 - x^11/39916800 + x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x
p =- x^15/1307674368000 + x^13/6227020800 - x^11/39916800 + x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x
1.2 多变量
多变量函数在
的Taylor幂级数展开如下：
例题3
求z=f(x,y)的各种Taylor幂级数展开。
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
syms x y a;
f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
F1=taylor(f,[x,y],[0,0],'order',8)
F2=taylor(f,[x,y],[1,a],'order',3)运行结果：
F1 =
x^7/3 + x^6*y + x^6/2 + 2*x^5*y^2 + x^5*y - x^5 + (7*x^4*y^3)/3 + (3*x^4*y^2)/2 - 2*x^4*y - x^4 + 2*x^3*y^4 + x^3*y^3 - 3*x^3*y^2 - x^3*y + 2*x^3 + x^2*y^5 + (x^2*y^4)/2 - 2*x^2*y^3 - x^2*y^2 + 2*x^2*y + x^2 + (x*y^6)/3 - x*y^4 + 2*x*y^2 - 2*x
F2 =
(exp(- a^2 - a - 1) - exp(- a^2 - a - 1)*((a/2 + 1)*(a + 2) - 1))*(x - 1)^2 - exp(- a^2 - a - 1) - exp(- a^2 - a - 1)*(a - y)^2*((2*a + 1)*(a + 1/2) - 1) + exp(- a^2 - a - 1)*(a + 2)*(x - 1) - exp(- a^2 - a - 1)*(2*a + 1)*(a - y) + exp(- a^2 - a - 1)*(a - y)*(x - 1)*((2*a + 1)*(a/2 + 1) + (a + 2)*(a + 1/2) - 1)
二. Fourier级数展开
给定f(x)以及如下条件：
Fourier级数，如下：
编写Fourier级数的解析函数：
function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)
if nargin==3,a=-pi;b=pi;
end
L=(b-a)/2;
if a+b, f=subs(f,x,x-L-a);
end %变量区域互换
A=int(f,x,-L,L)/L;
B=[];
F=A/2; %计算a0
for i=1:nan=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];B=[B,bn];F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);
end
if a+b,F=subs(F,x,x+L+a);
end %换回变量区域
end例题4
求y的Fourier级数展开。
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
syms x;
f=x*(x-pi)*(x-2*pi);
[A,B,F]=fseries(f,x,6,0,2*pi)function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)
if nargin==3,a=-pi;b=pi;
end
L=(b-a)/2;
if a+b, f=subs(f,x,x-L-a);
end %变量区域互换
A=int(f,x,-L,L)/L;
B=[];
F=A/2; %计算a0
for i=1:nan=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];B=[B,bn];F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);
end
if a+b,F=subs(F,x,x+L+a);
end %换回变量区域
end运行结果：
A =[ -16*pi^3, 24*pi, -6*pi, (8*pi)/3, -(3*pi)/2, (24*pi)/25, -(2*pi)/3]
B =
[ -(12*pi - 24*pi^3)/pi, ((3*pi)/2 - 12*pi^3)/pi, -((4*pi)/9 - 8*pi^3)/pi, ((3*pi)/16 - 6*pi^3)/pi, (24*pi^2)/5 - 12/125, (pi/18 - 4*pi^3)/pi]
F =
(sin(x)*(12*pi - 24*pi^3))/pi - 24*pi*cos(x) - 8*pi^3 - 6*pi*cos(2*x) - (8*pi*cos(3*x))/3 - (3*pi*cos(4*x))/2 - (24*pi*cos(5*x))/25 - (2*pi*cos(6*x))/3 - sin(5*x)*((24*pi^2)/5 - 12/125) + (sin(2*x)*((3*pi)/2 - 12*pi^3))/pi + (sin(3*x)*((4*pi)/9 - 8*pi^3))/pi + (sin(4*x)*((3*pi)/16 - 6*pi^3))/pi + (sin(6*x)*(pi/18 - 4*pi^3))/pi
例题5
对区间内的方波信号，当
时，y=1，否则y=-1。对它进行Fourier级数拟合，并观察用多少项能有较好的拟合效果。
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
syms x;
f=abs(x)/x; %定义方波信号
xx=[-pi:pi/200:pi];
xx=xx(xx~=0);
xx=sort([xx,-eps,eps]); %剔除零点
yy=subs(f,x,xx);
plot(xx,yy,'r-.'), %绘制出理论值
hold on %保持坐标系for n=2:20[a,b,f1]=fseries(f,x,n);y1=subs(f1,x,xx);plot(xx,y1)
endfunction [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)
if nargin==3,a=-pi;b=pi;
end
L=(b-a)/2;
if a+b, f=subs(f,x,x-L-a);
end %变量区域互换
A=int(f,x,-L,L)/L;
B=[];
F=A/2; %计算a0
for i=1:nan=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];B=[B,bn];F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);
end
if a+b,F=subs(F,x,x+L+a);
end %换回变量区域
end运行结果：
三. 级数求和
给定：
符号工具箱中有提供：
S=symsum(fk,k,k0,kn)例题6
计算求和：
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
format long;%数值计算
sum(2.^[0:63])%把2定义为符号量，计算会更准确
sum(sym(2).^[0:63])%工具箱
syms k;
symsum(2^k,0,63)运行结果：
ans =1.844674407370955e+19
ans =18446744073709551615
ans =18446744073709551615
例题7
试求无穷级数的和
解：
MATLAB代码：
clc;clear;%符号工具箱
syms n;
s=symsum(1/((3*n-2)*(3*n+1)),n,1,inf)%数值计算
format long %以长型方式显示得出的结果
m=1:1000000;
s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1))) %双精度有效位16运行结果：
s =1/3
s1 =0.333333222222265
例题8
求解：
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
syms n x;
s1=symsum(2/((2*n+1)*(2*x+1)^(2*n+1)),n,0,inf)运行结果：
s1 =piecewise(1 < abs(2*x + 1), 2*atanh(1/(2*x + 1)))
例题9
求：
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
syms m n;
limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf);
vpa(ans,70) %显示70位有效数字运行结果：
ans =
0.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677
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