【POJ 2449】第K短路【A*算法】

题意：

给定一张N个点，M条边的有向图，求从起点到终点T的第K短路的长度。

思路：

求第K短路，我们先回忆一下Dijkstra求最短路的方法。

每次松弛了一个节点，则将该节点放入优先队列，然后在取优先队列的第一个点，即源点到该点距离最短的点，再用该点去松弛其他的点。最终求出的距离就是单源最短距离。

换句话说，就是用优先队列bfs对整张图进行遍历，当一个点被第一次取出时，此时的距离便是该点的最短距离。

由此，我们便得知了求第K短路的方法。即对于任意顶点 i ，当顶点 i 被第K次取出时，此时的距离便是该点的第K短路。

但是，如果直接用优先队列的bfs去求第K短路，无疑会造成大量的冗余搜索。因此我们需要用A*算法，即启发式算法进行优化。

启发式算法的核心：

1.设立一个估价函数，对于每一个状态，估价函数的值就是该状态到目标状态所需的花费。注意这个花费必须小于真实花费，否则程序会出错。

2.对每一次搜索到的状态，我们定义该状态的值为“该状态的花费”+“该状态到目标状态所需的值”，即估价函数在该状态下的值。

3.然后我们每次取出状态值最小的点进行bfs，即可优化搜索。

由此，A*，即是改变bfs的搜索方向，使得我们更快地搜到目标值。

我们再回到本题，在该题中，估价函数应该是该点到目标点的距离，此时估价花费 <= 真实花费，因此可行。

我们定义每个点的值为当前到该点的距离 + 该点到目标点的距离，然后再进行bfs优先队列搜索，即为A*算法在本题的应用。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
const int M = 1e5+100;
const int N = 2000;
const int inf = 0x3f3f3f3f;int n,m,s,t,k;
struct Edge{int to,next,w;
}e[M],ef[M];
int head[N],headf[N],tot,totf;
int dis[N],book[N],dist[N];
struct Po{int id;   //到达哪一个点int fw; //到该点已经走过的距离int w; //到该点已经走过的距离+该点距离终点的距离
}tmp;bool operator < (Po x,Po y) //优先队列只能重载 <
{return x.w>y.w; //如果放在结构体内重载，需要加const
}
void init()
{tot = 1; totf = 1;memset(head,0,sizeof head);memset(headf,0,sizeof headf);
}void add(int x,int y,int w)
{e[++tot].to = y; e[tot].next = head[x]; head[x] = tot; e[tot].w = w;
}void addf(int x,int y,int w)
{ef[++totf].to = y; ef[totf].next = headf[x]; headf[x] = totf; ef[totf].w = w;
}void spfa(int x)
{queue<int> q;memset(book,0,sizeof book);rep(i,1,n) dis[i] = inf;while(!q.empty()) q.pop();q.push(x);book[x] = 1;dis[x] = 0;while(!q.empty()){int p = q.front();for(int i = headf[p]; i ; i = ef[i].next){if(dis[ef[i].to] > dis[p]+ef[i].w){dis[ef[i].to] = dis[p]+ef[i].w;if(book[ef[i].to] == 0){q.push(ef[i].to);book[ef[i].to] = 1;}}}book[p] = 0;q.pop();}
}int bfs()
{if(dis[s] == inf) return -1; //如果不加这句话，就是wa，确保连通性int val = 0;priority_queue<Po> q;while(!q.empty()) q.pop();tmp.fw = 0;    //走到id这个点目前所需要的距离tmp.id = s;tmp.w = tmp.fw+dis[tmp.id];q.push(tmp);if(t==s)k++;  //这里也是一个大坑点while(!q.empty()){Po p = q.top();q.pop();   //优先队列，必须在push之前就pop，不然队列顶的那个点会被调到底下去int id = p.id;  //p所在的点if(id == t) val++;if(val == k) return p.fw;    //求第k短路for(int i = head[id]; i ; i = e[i].next)   //加入新边{tmp.fw = p.fw+e[i].w;tmp.id = e[i].to;tmp.w = tmp.fw+dis[tmp.id];   //此处为估价函数q.push(tmp);}}if(val!=k){return -1;}
}int main()
{while(~scanf("%d%d",&n,&m)){init();rep(i,1,m){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);add(x,y,z);addf(y,x,z);}scanf("%d%d%d",&s,&t,&k);spfa(t);printf("%d\n",bfs());}return 0;
}/*
2 10
1 2 42
1 2 1
1 1 79
2 2 65
2 2 82
1 2 92
2 1 28
2 1 5
2 1 93
2 1 17
1 2 1000
*/

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