当 p＜1时，p 范数不满足三角不等式的证明 | p norm

在 lpl^plp 空间上，ppp 范数定义如下：

∣∣x∣∣p=∑i=1n(∣x1∣p+∣x2∣p+⋯+∣xn∣p)(1)||x||_p=\sum_{i=1}^n (|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p)\tag{1}∣∣x∣∣p=i=1∑n(∣x1∣p+∣x2∣p+⋯+∣xn∣p)(1)

其中 p⩾1p\geqslant1p⩾1

那么为什么只考虑 p⩾1p\geqslant 1p⩾1 的情况呢？因为 0<p<10<p<10<p<1 的时候，(1)(1)(1) 式不满足三角不等式。

我们考虑这样两个元素，

x=(2,0,0,⋯,0)x=(2,0,0,\cdots,0)x=(2,0,0,⋯,0)

y=(0,2,0,⋯,0)y=(0,2,0,\cdots,0)y=(0,2,0,⋯,0)

于是

∣∣x+y∣∣=(2p+2p)1/p=2p+1p>2=∣∣x∣∣+∣∣y∣∣\begin{aligned} ||x+y||=(2^p+2^p)^{1/p}=2^{\frac{p+1}{p}}>2=||x||+||y|| \end{aligned}∣∣x+y∣∣=(2p+2p)1/p=2pp+1>2=∣∣x∣∣+∣∣y∣∣

证毕。

参考资料
我其实是抄的这里

2022年4月27日16:53:22

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