数学建模之TOPSIS法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）可以理解为逼近理想解排序法，国内也称作优劣解距离法。该方法只要求各效用函数具有单调递增(或递减）性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法。
举个例子：一个寝室四个人的高数成绩如下：

在这种情况下，我们如何确定权重（评分）呢？归一化！
归一化：是一种无量纲处理手段，使物理系统数值的绝对值变成某种相对值关系。简化计算，缩小量值的有效办法。
那么你可能也听说过标准化这个词
标准化：当几种参数的单位不一致时，使用标准化去除量纲。
这里我们采用的构造方式为(x−minmax−min)\genfrac (){1pt}{1}{x-min}{max-min}(max−minx−min) ，缩小量值，然后归一化，让他们评分相加为1.

我们为什么采用这样的评分标准：

首先一般评价的对象一般远超于2个。
比较的指标也往往不是一个方面。
有很多指标不存在理论上的最大最小值，例如GDP增速。

当我们增加一个指标时：

成绩属于极大型指标（效益性指标），属于越大越好。
争吵属于极小型指标（成本型指标），属于越小越好。
此时，我们需要把两种指标转化为相同方向。（统一指标类型）
将所有指标正向化处理，极小型指标转化极大型指标公式max−xmax-xmax−x

此时我们可以发现，争吵次数与成绩是两种不同单位的指标参数，所以我们利用标准化来去除量纲的影响。
假设有n个要评价的对象，m个指标参数（都已经正向化），构成的正向化矩阵为：X = [x11...x1mx21...x2m.........xn1...xnm]\begin{bmatrix} x_{11} & ... & x_{1m} \\ x_{21} & ... & x_{2m} \\ ... & ... & ... \\ x_{n1} & ... & x_{nm} \\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡x11x21...xn1............x1mx2m...xnm⎦⎥⎥⎤，那么标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：zij=xij/∑i=1nxij2z_{ij}= x_{ij}/\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}zij=xij/i=1∑nxij2，经过变换：
[891603742990]\begin{bmatrix} 89 &1 \\ 60 &3\\ 74&2\\ 99&0 \\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡896074991320⎦⎥⎥⎤ =====>[0.54370.26730.36650.80180.45200.53450.60480]\begin{bmatrix} 0.5437 &0.2673 \\ 0.3665 &0.8018\\ 0.4520&0.5345\\ 0.6048&0 \\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡0.54370.36650.45200.60480.26730.80180.53450⎦⎥⎥⎤ 相关代码：清风数学建模

1.类比只有一个指标的计算得分

假设有n个要评价的对象，m个指标指标的标准化矩阵：Z=[z11...z1mz21...z2m.........zn1...znm]Z = \begin{bmatrix} z_{11} & ... & z_{1m} \\ z_{21} & ... & z_{2m} \\ ... & ... & ... \\ z_{n1} & ... & z_{nm} \\ \end{bmatrix}Z=⎣⎢⎢⎡z11z21...zn1............z1mz2m...znm⎦⎥⎥⎤,我们定义每一指标的最大值Zi+Z^+_iZi+ ，最小值Zi−Z^-_iZi−，定义第i(i=1,2,3…n)个评价对象与最大值的距离 Di+=∑j=1m(Zi+−zij)2D_i^+= \sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^m(Z_i^+-z_{ij})^2}Di+=j=1∑m(Zi+−zij)2,第i(i=1,2,3…n)个评价对象与最小值的距离 Di−=∑j=1m(Zi−−zij)2D_i^-= \sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^m(Z_i^--z_{ij})^2}Di−=j=1∑m(Zi−−zij)2，那么评价对象未归一化的得分：Si=Di−Di−+Di+S_i =\tfrac{D_i^-}{D_i^-+D_i^+}Si=Di−+Di+Di−,明显可以看出SiS_iSi一定是在0到1之间，即Di+D_i^+Di+这个最大距离越小，SiS_iSi越大，即越接近最大值。这也是为什么TOPSIS也叫做优劣解距离法

2.解题步骤

第一步：将原始矩阵正向化
最常见的四种指标：

如何极小型转化极大型：

max - x：最大值减去当前x
如果所有元素都为正数，直接变成倒数1x\tfrac{1}{x}x1

如何中间型转化极大型：
设中间型为xbestx_{best}xbest，那么未归一化得分公式为M=max(∣xi−xbest∣)M = max(|x_i-x_{best}|)M=max(∣xi−xbest∣)，xi~=1−∣xi−xbest∣M\widetilde{x_i}=1-\tfrac{|x_i-x_{best}|}{M}xi=1−M∣xi−xbest∣

如何区间型转化极大型：
是指值落在某个区间内最好，设区间为[a,b]，有M=max(a−min(xi),max(xi)−b)M = max(a-min(x_i),max(x_i)-b)M=max(a−min(xi),max(xi)−b)
xi~={1−a−xM,x<a1,a<=x<=b1−x−bM,x>b\widetilde{x_i} = \begin{cases} 1- \tfrac{a-x}{M} ,x < a \\ 1 ,a <= x <= b\\ 1- \tfrac{x-b}{M} ,x > b \end{cases}xi=⎩⎪⎨⎪⎧1−Ma−x,x<a1,a<=x<=b1−Mx−b,x>b

第二步: 将正向化转换成标准化：假设有n个要评价的对象，m个指标参数（都已经正向化），构成的正向化矩阵为：X=[x11...x1mx21...x2m.........xn1...xnm]X = \begin{bmatrix} x_{11} & ... & x_{1m} \\ x_{21} & ... & x_{2m} \\ ... & ... & ... \\ x_{n1} & ... & x_{nm} \\ \end{bmatrix}X=⎣⎢⎢⎡x11x21...xn1............x1mx2m...xnm⎦⎥⎥⎤，那么标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
zij=xij/∑j=1mxij2z_{ij}= x_{ij}/\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^mx_{ij}^2}zij=xij/j=1∑mxij2每一个元素/其所在列的平方和每一个元素/\sqrt{其所在列的平方和}每一个元素/其所在列的平方和

第三步： 计算得分并归一化。
这就是TOPSIS的流程~

补充：基于熵权法对TOPSIS模型的修正

由于层次分析法的主观性影响太大，所以我们利用熵权法（一种客观客观赋权的方法）。
什么是熵权法：

按照信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；如果指标的信息熵越大，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高。因此，可利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据。

这里的信息熵我们看作是方差，方差越大，波动程度越大，意味着权重也就越大。

越可能发生的事情，信息量越小；
越不可能发生的事情，信息量就越大。

熵权法的计算步骤

1.判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时要保证每一个元素为非负数）
Z(ij)=x(ij)−min(x(ij))max(x(ij))−min(x(ij))Z_(ij) = \tfrac{x_(ij)-min(x_(ij))}{max(x_(ij))-min(x_(ij))}Z(ij)=max(x(ij))−min(x(ij))x(ij)−min(x(ij))
2.计算第j项指标下第i个样本所占的权重，并将其看作相对熵计算所用到的概率。
Z~=[z~11...z~1mz~21...z~2m.........z~n1...z~nm]\widetilde Z = \begin{bmatrix} \widetilde z_{11} & ... &\widetilde z_{1m} \\ \widetilde z_{21} & ... &\widetilde z_{2m} \\ ... & ... & ... \\ \widetilde z_{n1} & ... &\widetilde z_{nm} \\ \end{bmatrix}Z=⎣⎢⎢⎡z11z21...zn1............z1mz2m...znm⎦⎥⎥⎤
pij=z~ij/∑i=1nz~ijp_{ij} = \widetilde z_{ij}/\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n\widetilde z_{ij}}pij=zij/i=1∑nzij
保证了每一个概率之和相加为1.
3.计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每一个指标的熵权。对于第j个指标而言，其信息熵的计算公式为：
ej=−1lnn∑i=1npijln(pij)e_j = - \tfrac{1}{lnn}\sum_{i=1}^np_{ij}ln(p_{ij})ej=−lnn1i=1∑npijln(pij)
eje_jej越大，所代表第j个指标的信息熵越大，信息熵越大他本身所包含的信息量就越少，就像前面例子所说，每次考试都考第一名高考一定会考上清华，毋庸置疑，大家是一定相信的，所以包含的信息相对少；而吊车尾突然考上清华，大家就会猜测，他是怎么考上的呢？这里包含的信息量就相对大。
信息效用值：dj=1−ejd_j = 1 - e_jdj=1−ej信息效用值越大，其对应所含的信息就越多。将信息效用值进行归一化，我们就能得到每一个指标的熵权：Wj=dj/∑j=1mdj（j=1,2,3...）W_j = d_j /\displaystyle\sum_{j=1}^md_j （j = 1,2,3...）Wj=dj/j=1∑mdj（j=1,2,3...）

熵权法的依据原理

指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也相应越低。