Stirling's approximation

2024-04-24 01:11:55

Stirling’s approximation 是对 n ! n! n!趋于无穷速度的估计, 可扩展到对 Gamma function 的估计.

一般表达形式

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n , n → ∞ . n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n, n \to \infty. n!∼2πn (en)n,n→∞.
Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , z → ∞ . \Gamma(z+1) \sim \sqrt{2 \pi z} \left( \frac{z}{e} \right) ^z, z \to \infty. Γ(z+1)∼2πz (ez)z,z→∞.

证明

注意到 Gamma function 是连接阶乘和积分的一个桥梁。

n ! = Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ x n e − x d x = ∫ 0 ∞ e n ln ⁡ x − x d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e n ( ln ⁡ y − y ) d y , l e t x = n y \begin{aligned} n! &= \Gamma(n+1) \\ &= \int_0^{\infty} x^ne^{-x} dx \\ &= \int_0^{\infty} e^{n \ln x - x} dx \\ &= n^{n+1} \int_0^{\infty} e^{n (\ln y - y)} dy, \ let \ x=ny \end{aligned} n!=Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=∫0∞enlnx−xdx=nn+1∫0∞en(lny−y)dy, let x=ny

由 Laplace’s method 可知
∫ 0 ∞ e n ( ln ⁡ y − y ) ∼ 2 π n e − n , \int_0^{\infty} e^{n (\ln y - y)} \sim \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}, ∫0∞en(lny−y)∼n2π e−n,
因此
n ! ∼ n n + 1 2 π n e − n = 2 π n ( n e ) n . n! \sim n^{n+1} \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n} = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n. n!∼nn+1n2π e−n=2πn (en)n.

比较精准的逼近

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯   ) . n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n \left( 1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} - \frac{571}{2488320n^4} + \cdots \right). n!∼2πn (en)n(1+12n1+288n21−51840n3139−2488320n4571+⋯).

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