第一章、简介

最早由欧拉提出，经勒让德，高斯，阿贝尔和雅可比等人发展。

对这类问题的讨论引出一门数学分支——椭圆积分与椭圆函数。

以下是几个比较简单的近似公式：

公式一至公式六为一般精度，满足简单计算需要；

公式八为高精度，满足比较专业一些的计算需要。

椭圆周长公式：

$L_1=2\pi b+4(a-b)$

这些公式均符合椭圆的基本规律,当 $a=b$ 时， $L=2a\pi$ ，

一、根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般。

$L=\pi \cdot \frac{qn}{\arctan{(n)} } \dotfill (1)$

$b\rightarrow a$
$q=a+b$
$n=(\frac{a-b}{a})^2$

二、根据两对扇形组成椭圆得特点推导精度一般

$L_2=\frac{ \pi \cdot \theta}{(\frac{\pi}{4})} \cdot (a-c+\frac{c}{\sin{\theta}}) \dotfill (2)$

$b\rightarrow 0$
$c=\sqrt{a^2-b^2}$
$\theta=\arccos(\frac{a-b}{a})^{1.1}$

三、根据圆周长公式推导的，精度一般

$L_3=\pi \cdot q(1 +mn) \dotfill (3)$

$q=a+b$
$m=\frac{4}{\pi}-1$
$n=(\frac{a-b}{a})^{3.3}$

四、根据椭圆 $a=b$ 时得基本特点推导的，精度一般

$L_4=\pi \cdot \sqrt{(2a^2 + 2b^2)}\cdot (1 +mn) \dotfill (4)$

$m=2\sqrt{\frac{2}{\pi}}-1$
$n=(\frac{a-b}{a})^{2.05}$

五、这是根据椭圆 $a=b$ ， $c=0$ 时是特点推导的，精度较好。

$L_5 = \sqrt{4ab\cdot\pi^2 + 15(a-b)^2}\cdot (1 +mn) \dotfill (5)$

$m=\frac{4}{\sqrt{15}}-1$
$n=(\frac{a-b}{a})^9$

六、较近似

$L_6 = \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} \dotfill (6)$

七、较精确

$L_7 =\pi \left(\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}\right) \dotfill (7)$

八、根据椭圆标准公式提炼,精度很高

$L_8 =\pi\cdot q(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}})�(1 +mn) \dotfill (8)$

$q=a+b$
$h=\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2$
$m=\frac{22}{7}\pi-1$
$n=\left(\frac{a-b}{a}\right)^{33.697}$

九、一个高精度的椭圆周长初等公式，精确度可由使用者自由控制，

A、误差约为千分之三的椭圆周长公式

取 $\pi = 3.14$ ，适用于我们在日常生活使用，它只需要小学算术用笔算就能完成

$C=4\left[(a+b)-(4-\pi)\frac{ab}{a+b} \right]$

B、误差约为十万分之三的椭圆周长公式

取 $\pi = 3.1416$ ，适用于一般工程计算或者考试时笔算使用

$C=4(a+b)-4\cdot \left[4-\pi + \frac{0.1218(a-b)^2}{(a+b)^2+2.8ab} \right]\frac{ab}{a+b}$

C、误差约为十三亿分之一的周长公式

可以用来检验其他椭圆周长公式的正确性，它的精度是六位数的椭圆积分表的一千倍，取 $\pi = 3.1415926536$ ，使用十二位数及以上的计算器为宜，亦可以使用8位数计算器。

$C=4(a+b)-4\cdot \left[4-\pi + \frac{\lambda(a-b)^2}{(a+b)^2+\mu ab} \right]\frac{ab}{a+b}$

其中：

$\left\{\begin{matrix} 0.50 \leq \frac{b}{a} \leq1.00 &\lambda = 0.1095034 + 0.0000160 \cdot \frac{\left |03a-004b \right |}{a} &\mu = 2.000000 &&\\ \\0.25 \leq \frac{b}{a} <0.50 &\lambda = 0.1131146 + 0.0001342 \cdot \frac{\left |03a-008b \right |}{a} & \mu = 2.221337&&\\ \\0.10 \leq \frac{b}{a} <0.25 &\lambda = 0.1200056 + 0.0001604 \cdot \frac{\left |07a-040b \right |}{a} & \mu = 2.762770&&\\ \\0.00 \leq \frac{b}{a} <0.10 &\lambda = 0.1314486 + 0.0003511 \cdot \frac{\left |11a-200b \right |}{a} &\mu = 4.504034 \end{matrix}\right.$

椭圆周长（弧长）涉及第二类椭圆积分，原函数无法以初等函数的形式表达。在Matlab，maple等数学软件中可以直接调用第二类椭圆积分函数求得。建议阅读《特殊函数》，王竹溪，郭敦仁编著；刘式适、刘式达编著版本指明了第二类椭圆积分的几何意义即为椭圆弧长问题。外文文献也很多。

十、精确度最高的椭圆周长公式

首先复制下列字符，把 $a$ 、 $b$ 改成你想要的数字，再粘贴到百度计算器高级输入栏按等号即可。该椭圆周长公式精确度约十亿分之一，为目前世界上不用程序即可计算的精确度最高的公式。当 $\frac{b}{a}$ 很小时，精确度是公式八的一万倍。当 $\frac{b}{a}$ 约为0.01时，精确度相当于用程序计算项名达公式1000倍。(该公式发明人周钰承）。

$\pi*(a+b)*\left [ 1+\frac{3*\left (\frac{a-b}{a+b}\right )^2}{10+\sqrt{4-3*\left (\frac{a-b}{a+b}\right )^2}}+\left (\frac{4}{\pi}-\frac{14}{11} \right )* \left (\frac{a-b}{a+b} \right)^{\left (14.233+13.981*\left (\frac{a-b}{a+b}\right)^{6.42}\right)} \right ]$

例如：若 $a=4$ ， $b=1$ 时，公式为：

$\pi*(4+1)*\left [ 1+\frac{3*\left (\frac{4-1}{4+1}\right )^2}{10+\sqrt{4-3*\left (\frac{4-1}{4+1}\right )^2}}+\left (\frac{4}{\pi}-\frac{14}{11} \right )* \left (\frac{4-1}{4+1} \right)^{\left (14.233+13.981*\left (\frac{4-1}{4+1}\right)^{6.42}\right)} \right ]$

十一、椭圆周长积分表达式（第二类椭圆积分）

$L=4aE\left(\frac{\pi}{2},e \right )=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4a\sqrt{1-e^2\left(\sin \omega \right )^2}d\omega = \int_{0}^{1}4a\sqrt{\frac{1-e^2t^2}{1-t^2}}dt$

十二、椭圆周长的级数表达式：

公式1

$L_\infty=\pi(a+b)\sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ n \end{pmatrix}^2h^n=\pi(a+b)\left (1+\frac{h}{4}+\frac{h^2}{64} +\frac{h^3}{256} +\frac{25h^4}{16384} +\frac{49h^5}{65536} +\cdots \right )$

$h=\left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2$

公式2 - 项名达公式

$L_\infty=2\pi a \left \{ 1-\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^2\frac{e^{2n}}{2n-1} \right \} =2\pi a\left [1-\left(\frac{1}{2} \right )^2e^2-\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} \right )^2\frac{e^4}{3}- \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \right )^2\frac{e^6}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8} \right )^2\frac{e^8}{7}- \cdots \right ]$

$e=\sqrt{1- \frac{b^2}{a^2} }$

简化：

$p=2\pi a\left(1-\frac{1}{2^2} e^2-\frac{1^2\cdot 3}{2^2\cdot 4^2}e^4- \frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}e^6-\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdot 8^2}e^8- \cdots \right )$

第二章、理论公式

一、简介

$l=2\pi a \left(1+\sum_{k=1}^{k\to \infty}C_{\frac{1}{2}}^{k}C_{2k}^{k}e^{2k}(-4)^{-k} \right )$

$a$ 为椭圆长半轴， $e$ 为椭圆的离心率

$e=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a} \right )^2}$

椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示，它是一个与离心率有关的无穷收敛级数，本公式已经把正圆周长纳入其中，在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆，也就是说正圆是长短轴相等的椭圆。

公式推导是要利用到曲线长度积分，同时关键的一步是，要把椭圆积分利用牛顿二项式定理展开为以 $\sin \theta$ 为变量的级数再通过积分求解，如图。

二、推导过程

先建立椭圆参数方程：

$x=a \sin \theta$

$y=b \cos \theta$

根据曲线长度积分方程 [4] ：

$u=y{}'$

$l=4\int_0^a{ \sqrt{1+u^2}}dx$

将椭圆方程代入上式得：

$e=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a} \right )^2}$

$L=4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2\theta}d\theta \dotfill (1)$

而 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2k}\theta d\theta=\frac{\pi}{2}C_{2k}^{k}4^{-k}$

得出将 $(1)$ 式用牛顿二项式定理展开再逐项积分得

$l=2\pi a \left(1+\sum_{k=1}^{k\to \infty}C_{\frac{1}{2}}^{k}C_{2k}^{k}e^{2k}(-4)^{-k} \right )$

求解完毕（这个公式把 $a=b$ 带进去以后为圆周长公式， $e=1$ 时, $L= 4a$ ）

由此我们可以得到圆周率的另一个公式了：

$\pi =\frac{2}{ \left(1+\sum_{k=1}^{\infty}(-4)^{-k}C_{\frac{1}{2}}^{k}C_{2k}^{k} \right )}$

第三章、椭圆面积公式

$S=\pi \cdot ab$

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