第十二届北航程序设计竞赛初赛—

本题中假定了屠夫不会影响友方单位的肉钩，所以我们可以对每个己方屠夫单独考虑。对己方屠夫aa，敌方屠夫bb，如果aa能钩到bb，那么被钩的地方CC与a、ba、b初始位置A、BA、B会形成一个三角形ABC三角形ABC。易得，AB=dis(A,B)AB = dis(A,B)。设出钩到被钩到的时间为tt、∠BAC=α\angle BAC = \alpha、dis(A,B)=ldis(A,B)=l，则AC=va⋅t，BC<=vb⋅tAC = v_a\cdot t，BC ，因为我们求的是范围，希望alphaalpha尽量大，由 cosα=AB2+AC2−BC22AB⋅BC\cos\alpha = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB\cdot BC}，所以BC=vb⋅tBC = v_b\cdot t。代入余弦公式后，我们可以得到cosα=v2a−v2b2⋅l⋅va⋅t+l2⋅va⋅1t\cos\alpha = \frac{v_a^2 - v_b^2}{2 \cdot l \cdot v_a}\cdot t + \frac{l}{2 \cdot v_a} \cdot \frac{1}{t},这样，我们就得到了一个cosα\cos\alpha为因变量，tt为自变量的函数，显而易见，这是一个对勾函数，当t=lv2a−v2b√t = \frac{l}{\sqrt{v_a^2-v_b^2}}时，α\alpha取得最大值（代入AC,BCAC,BC就会发现BC⊥ABBC\perp AB）。但是因为屠夫是不能越过峡谷的，所以可能取不到最大值，这时候就需要算出他们在yy轴相遇的点，这个可以解一元二次方程求得。设γj\gamma_{j}为第ii位己方屠夫到第jj位敌方屠夫的射线与yy轴正方向的夹角,对第ii位己方屠夫可得，θ1=minmj=1(γj−αj1),θ2=maxmj=1(γj+αj2)\theta_{1} = \min_{j=1}^{m}(\gamma_{j} - \alpha_{j1}),\theta_2 = max_{j=1}^{m}(\gamma_j+\alpha_{j2})

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