problem

CF1368E Ski Accidents

solution

这个 47n\frac 47n74n 的限制，提示这存在一个特定构造方案，由 777 我们联想到 1+2+4=71+2+4=71+2+4=7。

暗示把顶点分为三类 A,B,CA,B,CA,B,C，满足 ∣C∣≤2∣B∣≤4∣A∣|C|\le 2|B|\le 4|A|∣C∣≤2∣B∣≤4∣A∣。

此时 CCC 组的元素数目一定 ≤47n\le \frac{4}{7}n≤74n。

构造方式：把所有入度为 000 的点都放入 AAA，把至少有一条入边来自 AAA ，但没有来自 BBB 的入边的点放入 BBB。然后，把至少有一条入边来自 BBB 的入边的点放入 CCC。剩下的点（所有入边都来 CCC ）放入 AAA。

此时，各类包含的顶点要求为：

A:A:A: 入度为 000；所有入边都来自 CCC。
B:B:B: 至少有一条入边来自 AAA，但没有来自 BBB 的入边。
C:C:C: 至少有一条入边来自 BBB。

不难发现，三类形成了一个有效的集合划分。

且因为每个点的出度都不超过 222，即 AAA 的出边至多有 2∣A∣2|A|2∣A∣ 条，所以 2∣A∣≥∣B∣2|A|\ge |B|2∣A∣≥∣B∣，2∣B∣≥∣C∣2|B|\ge |C|2∣B∣≥∣C∣ 同理。

此时将 CCC 类点尽数删除。

由于 A,BA,BA,B 都没有来自 BBB 的入边，而 AAA 内部点之间也不存在边，所以一定不存在长度超过 111 的路径。

有向无环图，所以可以在 O(n)O(n)O(n) 的时间内完成求解。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005
vector < int > G[maxn], ans;
int T, n, m;
int col[maxn];int main() {scanf( "%d", &T );while( T -- ) {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) G[i].clear(), col[i] = 0;for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[v].push_back( u );}for( int v = 1;v <= n;v ++ )for( int u : G[v] ) {if( col[u] == 1 )col[v] = 2;if( col[v] ^ 2 and col[u] == 0 )col[v] = 1;}ans.clear();for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( col[i] == 2 ) ans.push_back( i );printf( "%d\n", ans.size() );for( int i : ans ) printf( "%d ", i );puts("");}    return 0;
}

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