LibreOJ #6207. 米缇（杜教筛 + 拉格朗日插值）

#6207. 米缇

推式子

∑i=1n∑j=1ndK(ij)∑i=1n∑j=1n∑x∣i∑y∣j[gcd(x,y)=1]ixkyk∑i=1n∑j=1n∑x∣i∑y∣j∑d∣gcd(x,y)μ(d)ixkyk∑d=1nμ(d)dk∑i=1nd∑x∣iixk∑j=1nd∑y∣iyk∑d=1nμ(d)dk∑i=1nd∑x∣ixk∑j=1nd∑y∣iyk∑d=1nμ(d)dk(∑i=1nd∑x∣ixk)2∑d=1nμ(d)dk(∑x=1ndxk∑x∣i)2∑d=1nμ(d)dk(∑x=1ndxk∑x=1nxd)2∑d=1nμ(d)dk(∑i=1ndiknid)2\sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} d_K(ij)\\ \sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \sum_{x \mid i} \sum_{y \mid j} [gcd(x, y) = 1]\frac{i}{x} ^ ky ^ k\\ \sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \sum_{x \mid i} \sum_{y \mid j} \sum_{d \mid gcd(x, y)} \mu(d) \frac{i}{x} ^ ky ^ k\\ \sum_{d = 1} ^{n} \mu(d) d ^ k \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{x \mid i} \frac{i}{x} ^ k \sum_{j = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{y \mid i} y ^ k\\ \sum_{d = 1} ^{n} \mu(d) d ^ k \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{x \mid i} x ^ k \sum_{j = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{y \mid i} y ^ k\\ \sum_{d = 1} ^{n} \mu(d) d ^ k (\sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{x \mid i} x ^ k) ^ 2\\ \sum_{d = 1} ^{n} \mu(d) d ^ k (\sum_{x = 1} ^{\frac{n}{d}}x ^ k \sum_{x \mid i}) ^ 2\\ \sum_{d = 1} ^{n} \mu(d) d ^ k (\sum_{x = 1} ^{\frac{n}{d}}x ^ k \sum_{x = 1} ^{\frac{n}{xd}}) ^ 2\\ \sum_{d = 1} ^{n} \mu(d) d ^ k (\sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}}i ^ k \frac{n}{id}) ^ 2\\ i=1∑nj=1∑ndK(ij)i=1∑nj=1∑nx∣i∑y∣j∑[gcd(x,y)=1]xikyki=1∑nj=1∑nx∣i∑y∣j∑d∣gcd(x,y)∑μ(d)xikykd=1∑nμ(d)dki=1∑dnx∣i∑xikj=1∑dny∣i∑ykd=1∑nμ(d)dki=1∑dnx∣i∑xkj=1∑dny∣i∑ykd=1∑nμ(d)dk(i=1∑dnx∣i∑xk)2d=1∑nμ(d)dk(x=1∑dnxkx∣i∑)2d=1∑nμ(d)dk(x=1∑dnxkx=1∑xdn)2d=1∑nμ(d)dk(i=1∑dnikidn)2

考虑求∑i=1nμ(i)ik\sum\limits_{i = 1} ^{n} \mu(i) i ^ ki=1∑nμ(i)ik我们卷上IidkIid ^kIidk得到S(n)=1−∑i=2nikS(ni)S(n) = 1 - \sum\limits_{i = 2} ^{n} i ^ k S(\frac{n}{i})S(n)=1−i=2∑nikS(in)这一项可以通过拉格朗日插值跟杜教筛得到。

考虑求∑i=1nikni\sum\limits_{i = 1} ^{n} i ^ k \frac{n}{i}i=1∑nikin，我们可以通过数论分块加拉格朗日插值来求。

注意这题拉格朗日插值求值同样也上记忆化。

代码

待补......

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