数据结构杂谈番外篇——搞懂递归的小文章

文章目录

1 难题
2 递归
- 2.1 n的阶层
- 2.2 斐波那契数列的第n项
- 2.3 逆序打印数组
3 反转链表
4 回顾递归

1 难题

如果不想听我谈学习的过程而注重怎么学习，可以直接跳到第二小节

这个递归的问题是在我刷题的时候遇到的。事实上，我对递归是一窍不通的，第一次学递归是在大二上学期学的数据分析和可视化中遇到了，但是那时候老师叫我们背，所以没怎么注意这个问题。

没注意的问题在后面就开始暴露出来了。在Leetcode刷题的时候，第一次遇见递归是在反转单链表的时候。反转单链表一文可以在每日一题——剑指 Offer24反转链表_尘鱼好美的小屋-CSDN博客中查看。在当时，我用的仅仅是新手都能接受的迭代法。而无法接受思维混乱的递归，但是在解决Leetcode上的另外一道题的时候就开始出问题了，这道题必须用到递归或者栈。

我们学过栈的都知道，栈的本质是递归，这就意味着这个知识点是一个跨不过的坎，我知道我必须面对了。

对于解决这个问题，我首先是看了一下大佬的递归解法剑指 Offer 24. 反转链表（迭代 / 递归，清晰图解） - 反转链表 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)。但是我发现其对于递归的本质没有详细的阐述，反而是只提解法，这对于新手显然十分不友好。我又在看不懂递归的看过来，希望能帮到你！ - 反转链表 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)上面看到了另外一个大佬的解法，虽然讲的挺好，但是在单链表反转中又是让人无法接受了，但是至此，我突然脑路一开，发现了一种新思路，我十分愿意和你分享我思考的思路，希望你耐心看完我的文章。

2 递归

大多数讲述递归都是先引出斐波那契数列。实际上，我们无需畏惧递归这个名词，我们先用另外一个词来体会递归，即递推公式，这在我们高中数学中几乎人人学过。在讲述斐波那契数列前，我们来解决一个问题。如何解决用递归实现n的阶层计算？

2.1 n的阶层

完成递归实际上就是三部曲：

明确函数目的
寻找递归结束条件
找出函数的等价关系式

这么说好像太空了，我们来给出一个图，实际上这个图就是递归。

没错，我们可以把俄罗斯套娃看成是递归，也就是说，每一层的娃都是在解决问题，递归的过程是把解决的问题都留在最后，先从外到里一步一步取娃，然后在最里面的娃从里到外解决问题。

现在我们看往例子：如果我们要解决阶层问题，那么结束递归的条件就是一个你知道的数，比如你从5的阶层，那么自然1的阶层是你知道的，那你就可以把1作为结束条件。当然，2你也知道是多少，甚至于更高。我们先用1来作为结束条件：

//结束条件
if(n == 1)
{return 1;
}

那我们接下来就是要写函数等价式了，这实际上是一个创造套娃的过程，从最小的娃开始，和相邻的娃建立联系。也就是说，我们只关注第n个娃和n-1个娃之间的关系，在这个例子中，它们的关系就是f(n) = n*f(n-1)。

等价关系式的寻找在这里看起来十分简单，可实际上，递归最难的就是此步。

接下来我们把上述写成代码，如下所示：

int func(int n)
{if(n == 1)return 1;return n*func(n-1);
}

也可以用2为结束递归条件，如下所示：

int func(int n)
{if(n <= 2)return 2; //2的阶层return n*func(n-1);
}

综上所述，这就是一个最简单的递归了。在下面，我们层层递进，来解决一些实际的问题。

2.2 斐波那契数列的第n项

我们来解决这么一个问题：

斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

按照上面的套路，函数实际上是要返回一个第n项的值，所以我们可以这么定义：

int func(int n)
{}

接下来我们要寻找递归结束的条件，根据题意，我们知道f(1) = 1,f(2) = 1… 那么根据我们在最开始讲到的，我们实际上是寻求函数关系等价式，在本题中，如果你采用n = 1作为递归结束条件，那么在函数等价式中（本题已给出）有一个f(n) = f(n-1)+f(n-2)，你把2填进去，会出现一个f(0)，这样的话越过了f(0)越过了递归结束条件n = 1，会无限死循环下去。

这显然是我们不希望的，所以我们可以用n<=2来作为循环结束条件，这样，f(n)中的n只能填3以上的数字才会出现循环。

综上所述，代码如下所示：

int func(int n){if(n <= 2){return 1;}return func(n-1) + func(n-2)
}

2.3 逆序打印数组

上面的斐波那契数列问题实际上很容易看出函数等价关系式，让我们来一个不那么明显地例子。

我们需要逆序打印一个长度为n的数组。请问如何解决？

也就是说，我们要的是打印一个数组？我们可以这么做：

int func(int arrs[])
{}

接下来我们需要寻找递归结束条件，这个结束的条件就是数组为空，即n = 0就结束。

int func(int arrs[])
{if(n == 0)return false;
}

现在让我们来找函数等价关系，在这里，我们明显要倒序打印，所以首要任务是先打印再倒推，倒推的过程实际上是一个类似于指针移动的过程：n = n-1，所以我们可以写出如下代码：

void func(int arrs[], int n)
{if (n <= 0)return;cout << arrs[n - 1] << endl;return func(arrs, n - 1);
}

3 反转链表

回到我们的主题，我们要解决的最终问题是，如何解决反转链表，乃至解决更多问题，既然要使用递归这个工具乘风破浪，那就先拿这道破题开刀吧。

定义一个函数，输入一个链表的头节点，反转该链表并输出反转后链表的头节点。

示例:

输入: 1->2->3->4->5->NULL
输出: 5->4->3->2->1->NULL

限制：

0 <= 节点个数 <= 5000

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/fan-zhuan-lian-biao-lcof
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

采用递归，首先要明白函数要干嘛，函数要反转链表并且返回头结点。

//逆置链表函数
ListNode* reverseList(ListNode * head)
{}

但是实际上，我们要实现递归的地方不是在这个逆置函数内，所以我们可以另外写一个递归函数。我们的思路是，分别指定两根指针，一根为pre，一根为cur，反转链表后cur.next = pre。最开始pre一定是空，cur一定是处于head的位置。

//逆置链表函数
ListNode* reverseList(ListNode * head)
{}//递归函数
ListNode* recur(ListNode* cur, ListNode* pre)
{}

接下来找结束条件。最开始pre是空，cur处于head的位置。当递归执行时，最内层的循环是cur快跑到null了。所以结束递归的条件一定是cur->next = NULL。

在最内层循环中，我们做的是：改变指针指向，即cur.next = pre。并且在最内层循环是，cur所处位置恰好是逆置后链表头结点所处位置。当递归函数执行完成，返回逆置链表头结点位置。而在逆置链表函数中，仅仅需要调用递归函数并且返回逆置链表头结点位置即可。

class Solution {
public:ListNode* reverseList(ListNode* head) {return recur(head, nullptr);           // 调用递归并返回}
private:ListNode* recur(ListNode* cur, ListNode* pre) {if (cur == nullptr) return pre;        // 终止条件ListNode* res = recur(cur->next, cur); // 递归后继节点cur->next = pre;                       // 修改节点引用指向return res;                            // 返回反转链表的头节点}
};

从套娃的角度来看，我们可以这样做：

4 回顾递归

递归实际上是一个解决子问题的过程。我们要解决f(n)，实际上首先解决f(n-1)，要解决f(n-1)，实际上要先解决f(n-2)，以此类推直至先解决最根本的问题，再回溯整个过程。

递归实际上也是需要优化的，比如f(n) = f(n-1)+f(n-2)，如果n = 5,那么n-1 = 4,n-2 = 3，后续在递归的过程中会出现多次f(4)、f(3)等，如果每次都计算，开销挺大，一般可以用某个值来保存，但是这篇文章是针对像我一样的初学者的，我们就偷个懒，放自己一马吧。

好了，彦祖，别太累了，好好消化一下就休息吧。