动态规划—最长上升子序列(POJ 1458)

摘要

本文主要介绍了经典算法题最长上升子序列的动态规划解法，同时用北大OJ的案例来补充说明，意在学习动态规划的基本思想和解题过程，供大家一起学习！

什么是最长上升子序列？

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence），简称LIS，也有些情况求的是最长非降序子序列，二者区别就是序列中是否可以有相等的数。假设我们有一个序列 b i，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们也可以从中得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N，但必须按照从前到后的顺序。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，我们就会得到一些上升的子序列，如(1, 7, 9), (3, 4, 8), (1, 3, 5, 8)等等，而这些子序列中最长的（如子序列(1, 3, 5, 8) ），它的长度为4，因此该序列的最长上升子序列长度为4。

是不是觉得好抽象～没事我给你解释～

首先需要知道，子串和子序列的概念，我们以字符子串和字符子序列为例，更为形象，也能顺带着理解字符的子串和子序列：

（1）字符子串指的是字符串中连续的n个字符，如abcdefg中，ab，cde，fg等都属于它的字串。

（2）字符子序列指的是字符串中不一定连续但先后顺序一致的n个字符，即可以去掉字符串中的部分字符，但不可改变其前后顺序。如abcdefg中，acdg，bdf属于它的子序列，而bac，dbfg则不是，因为它们与字符串的字符顺序不一致。

知道了这个，数值的子序列就很好明白了，即用数组成的子序列。这样的话，最长上升子序列也很容易明白了，归根结底还是子序列，然后子序列中，按照上升顺序排列的最长的就是我们最长上升子序列了，这样听来是不是就很容易明白啦～

还有一个非常重要的问题：请大家用集合的观点来理解这些概念，子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一，但很显然，对于固定的数组，虽然LIS序列不一定唯一，但LIS的长度是唯一的。再拿我们刚刚举的栗子来讲，给出序列 ( 1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，易得最长上升子序列长度为4,这是确定的，但序列可以为 ( 1, 3, 5, 8 ), 也可以为 ( 1, 3, 5, 9 )。

好了，知道什么是最长上升子序列之后，我们来看看怎么求长度。

LIS的解法有好几种，例如O(n^2)的DP，O(nlogn)的二分+贪心法，以及O(nlogn)的树状数组优化的DP。

在这里我详细介绍第一种，动态规划的解法。

动态规划解法

我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出，由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。

　　让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

　　前1个数 d(1)=1 子序列为2；

　　前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

　　前3个数在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

　　前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

　　前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

　　前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

　　前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

　　前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

　　前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

　　d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

　　总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。

状态设计：F [ i ] 代表以 A [ i ] 结尾的 LIS 的长度

状态转移：F [ i ] = max { F [ j ] + 1 ，F [ i ] } (1 <= j < i，A[ j ] < A[ i ])

边界处理：F [ i ] = 1 (1 <= i <= n)

时间复杂度：O (n^2)

具体例子

这里我们以北大OJ （POJ 2533）最长上升子序列为例子

描述

ai的数字序列如果a1 < a2 <…<一个。设给定数字序列(a1, a2，…)的子序列， aN)为任意序列(ai1, ai2，…， 1 <= i1 <= i2 <…< iK <= n。例如，序列(1,7,3,5,9,4,8)已经排序了子序列，如(1,7)，(3,4,8)等。所有最长有序子序列的长度都是4，例如(1,3,5,8)。

当给定数字序列时，程序必须找到最长有序子序列的长度。

输入

输入文件的第一行包含序列N的长度。第二行包含序列的元素—N个整数，每个整数的范围是0 ~ 10000，用空格隔开。1 <= n <= 1000

输出

输出文件必须包含单个整数-给定序列的最长有序子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

实现代码：

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
int b[1010]; //输入的数据
int maxlen[1010]; //记录以第i个位终点的最长上升子序列长度
int main(){int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&b[i]);maxlen[0]=1; //第一个显然是1//从第二个数开始 依次求for(int i=1;i<n;i++){int temp=0; //记录长度的，每求一个数就清零for(int j=0;j<i;j++){if(b[j]<b[i]){if(temp < maxlen[j])temp = maxlen[j];}}//退出循环后找到之前的最长序列maxlen[i] = temp + 1;}//从头到尾遍历，找最大值int maxl=-1;for(int i=0;i<n;i++)if(maxl<maxlen[i])maxl=maxlen[i];printf("%d\n",maxl);return 0;
}

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