动态规划——最长上升子序列问题(LIS)

最长上升子序列问题（LIS）。给定n个整数A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots , A_n，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列（子序列可以理解为：删除0个或多个数，其他数的顺序不变）。例如序列1, 6, 2, 3, 7, 5，可以选出上升子序列1, 2, 3, 5，也可以选出1, 6, 7，但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。

算法设计

该算法是动态规划——基本思想中的编号动态规划问题，输入为x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n，子问题为x1,x2,…,xix_1, x_2, \dots, x_i。

状态

dp(i)表示前i个序列中的上升子序列最长长度

状态转移方程

dp(i)=max(dp(i),dp(j)+1)ifj<i,A[j]<A[i]

dp(i) = max(dp(i), dp(j) + 1) \; \mbox{if} \; j

初始化条件

01 for i <- 1 to n
02  dp[i] <- 1

算法实现

const int MAX_NUM = 10000 + 5;
const int INF = 100000000;
// 序列长度
int n;
// 序列
int seq[MAX_NUM];
//  dp(i)表示前i个序列中的上升子序列最长长度
int dp[MAX_NUM];void solve() {int ans = -INF;// 初始化for(int i = 1; i <= n; i++) {dp[i] = 1;}for(int i = 2; i <= n; i++) {for(int j = 1; j < i; j++) {// 如果相邻元素能相等的话，将<改成<=就行了if(seq[j] < seq[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}if(ans < dp[i]) {ans = dp[i];}}}// 获取最长序列编号int num = ans;int ls[num];for(int i = n; i >= 1; i--) {if(num == dp[i]) {ls[--num] = i;}}for(int i = 0; i < ans; i++) {cout << ls[i] << " ";}cout << endl;cout << ans << endl;
}

测试主程序

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int MAX_NUM = 10000 + 5;
const int INF = 100000000;
// 序列长度
int n;
// 序列
int seq[MAX_NUM];
//  dp(i)表示前i个序列中的上升子序列最长长度
int dp[MAX_NUM];void solve() {int ans = -INF;// 初始化for(int i = 1; i <= n; i++) {dp[i] = 1;}for(int i = 2; i <= n; i++) {for(int j = 1; j < i; j++) {// 如果相邻元素能相等的话，将<改成<=就行了if(seq[j] < seq[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}if(ans < dp[i]) {ans = dp[i];}}}// 获取最长序列编号int num = ans;int ls[num];for(int i = n; i >= 1; i--) {if(num == dp[i]) {ls[--num] = i;}}for(int i = 0; i < ans; i++) {cout << ls[i] << " ";}cout << endl;cout << ans << endl;
}int main() {while(cin >> n && n) {for(int i = 1; i <= n; i++) {cin >> seq[i];}solve();}return 0;
}

输出数据

6
1 6 2 3 7 5
1 3 4 6
4
5
1 2 3 1 2
1 2 3
3
5
3 1 2 1 0
2 3
2
5
10 9 8 7 6
5
1Process returned 0 (0x0)   execution time : 106.836 s
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初始化条件

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测试主程序

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