【LeetCode】 Best Time to Buy and Sell Stock I II III IV 解题报告

原文地址：http://liangjiabin.com/blog/2015/04/leetcode-best-time-to-buy-and-sell-stock.html

Best Time to Buy and Sell Stock I

题意：用一个数组表示股票每天的价格，数组的第i个数表示股票在第i天的价格。如果只允许进行一次交易，也就是说只允许买一支股票并卖掉，求最大的收益。

分析：动态规划法。从前向后遍历数组，记录当前出现过的最低价格，作为买入价格，并计算以当天价格出售的收益，作为可能的最大收益，整个遍历过程中，出现过的最大收益就是所求。

代码：时间O(n)，空间O(1)。

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Best Time to Buy and Sell Stock II

题目：用一个数组表示股票每天的价格，数组的第i个数表示股票在第i天的价格。交易次数不限，但一次只能交易一支股票，也就是说手上最多只能持有一支股票，求最大收益。

分析：贪心法。从前向后遍历数组，只要当天的价格高于前一天的价格，就算入收益。

代码：时间O(n)，空间O(1)。

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Best Time to Buy and Sell Stock III

题意：用一个数组表示股票每天的价格，数组的第i个数表示股票在第i天的价格。最多交易两次，手上最多只能持有一支股票，求最大收益。

分析：动态规划法。以第i天为分界线，计算第i天之前进行一次交易的最大收益preProfit[i]，和第i天之后进行一次交易的最大收益postProfit[i]，最后遍历一遍，max{preProfit[i] + postProfit[i]} (0≤i≤n-1)就是最大收益。第i天之前和第i天之后进行一次的最大收益求法同Best Time to Buy and Sell Stock I。

代码：时间O(n)，空间O(n)。

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Best Time to Buy and Sell Stock IV

题意：用一个数组表示股票每天的价格，数组的第i个数表示股票在第i天的价格。最多交易k次，手上最多只能持有一支股票，求最大收益。

分析：特殊动态规划法。传统的动态规划我们会这样想，到第i天时进行j次交易的最大收益，要么等于到第i-1天时进行j次交易的最大收益（第i天价格低于第i-1天的价格），要么等于到第i-1天时进行j-1次交易，然后第i天进行一次交易（第i天价格高于第i-1天价格时）。于是得到动规方程如下（其中diff = prices[i] – prices[i – 1]）：

profit[i][j] = max(profit[i – 1][j], profit[i – 1][j – 1] + diff)

看起来很有道理，但其实不对，为什么不对呢？因为diff是第i天和第i-1天的差额收益，如果第i-1天当天本身也有交易呢，那么这两次交易就可以合为一次交易，这样profit[i – 1][j – 1] + diff实际上只进行了j-1次交易，而不是最多可以的j次，这样得到的最大收益就小了。

那么怎样计算第i天进行交易的情况的最大收益，才会避免少计算一次交易呢？我们用一个局部最优解和全局最有解表示到第i天进行j次的收益，这就是该动态规划的特殊之处。

用local[i][j]表示到达第i天时，最多进行j次交易的局部最优解；用global[i][j]表示到达第i天时，最多进行j次的全局最优解。它们二者的关系如下（其中diff = prices[i] – prices[i – 1]）：

local[i][j] = max(global[i – 1][j – 1] + max(diff, 0), local[i – 1][j] + diff)
global[i][j] = max(global[i – 1][j], local[i][j])

其中的local[i – 1][j] + diff就是为了避免第i天交易和第i-1天交易合并成一次交易而少一次交易收益。参考：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4295761.html

代码：时间O(n)，空间O(k)。

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