EMD Earth Movers Distance

EMD距离即Earth Mover's Distance，是由2000年IJCV期刊文章《The Earth Mover's Distance as a Metric for Image Retrieval》提出的一种图像相似度度量方法，从文章标题也可以得知，最初EMD的概念是用于图像检索的。后来因为其各种优点，逐渐用到其他方面的相似度度量。这篇文章主要理解EMD的概念。

signature
论文定义，“We introduce a distance between two signatures that we call the Earth Mover's Distance(EMD)”，那么这里的signature是什么呢？

1.图像的直方图就是把全部像素值量化为一系列bin，统计每个bin的像素个数；bin值可以看作特征，bin高度可以看作该特征的重要程度。

2.而 signature 定义为一系列的重要特征，可以写作 s = (m, w)，m是某个特征，w是该特征的权重。文中说“A signature is a set of the main clusters or modes of a distribution”，作者认为，传统的完整直方图一般会聚集在某些bin上，这样过于浪费空间，用 signature 可以较稀疏的表达直方图内容。

事实上，虽然原文章是由 histogram 引出 signature 及 EMD 的定义，但实际用于计算EMD时，因为不同情况的使用方式不同，只要是符合要求的特征即可。

EMD
EMD本身是一个线性规划问题。假设，

然后来通俗点理解EMD的本质： Earth Move翻译过来是搬土，指把P位置的m个坑的土，用最小的代价搬到Q位置的n个坑中，dij是pi到qj两个坑的距离，fij是从pi搬到qj的土量，则WORK工作量就是要最小化的目标。线性规划求解出fij后，再用fij对WORK作个归一化，就得到了EMD。
那么问题来了，为什么要用这个运输问题来定义 EMD 呢？
论文给的解释是，"Signature matching can be naturally cast as a transportation problem by de fining one signature as the supplier and the other as the consumer, and by setting the cost for a supplier-consumer pair to equal the ground distance between an element in the fi rst signature and an element in the second." 这意味着，在求解出最优运输方案 [fij] 时，同时也找到了两边最匹配的signature，如此一来计算的distance是合理的，所以EMD图像相似度匹配是有效的。

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