在说起感知器之前，需要先说一下神经网络的定义：

神经网络是由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互联的网络，它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物体所作出的交互反应。

感知器（M-P神经元模型）

 感知器（Perceptron）由两层神经元组成，如图所示，输入层接收外界输入信号后传递给输出层，输出层是M-P神经元，亦称“阈值逻辑单元”。在M-P神经元模型中，神经元接收到来自n个其他神经元传递过来的输入信号，这些输入信号通过带权重的连接进行传递，神经元接收到的总输入值将与神经元的阈值进行比较，然后通过“激活函数”（activation function）处理以产生神经元的输出。

理想中的激活函数是下图所示的阶跃函数，它将输入值映射为输出值“0”或“1”，显然“1”对应于神经元兴奋，“0”对应于神经元抑制。然而，阶跃函数具有不连续、不光滑等不太好的性质，因此实际常用Sigmoid函数作为激活函数，如图所示，它把可能在较大范围内变化的输入值挤压到（0，1）输出范围内，因此，有时也称为“挤压函数”。

把许多个这样的神经元按一定的层次结构连接起来，就得到了神经网络。

感知器能很容易地实现逻辑与、或、非的运算，注意到

假定函数f为图（a）中的阶跃函数，且x1，x2的取值为0或1，下面通过有两个输入神经元的感知器来实现逻辑与、或、非的运算。

• “与”（x1∧x2）：令w1=w2=1，θ=2，则

仅在x1=x2=1时，y=1；

• “或”（x1∨x2）：令w1=w2=1，θ=0.5，则

、

当x1=1或x2=1时，y=1；

• “非”（¬x1）：令w1=-0.6，w2=0，θ=-0.5，则

当x1=1时，y=0；当x1=0时，y=1；

更一般地，给定训练数据集，权重wi（i=1,2，.... , n）以及阈值θ可通过学习得到，阈值θ可看作一个固定输入为-1.0的哑结点所对应的连接权重w(n+1)，这样，权重和阈值的学习就可统一为权重的学习。

感知器权重（w）更新策略

感知器学习规则非常简单，对训练样例（x，y），若当前感知器的输出为，则感知器权重将这样调整：

其中η∈(0, 1)称为学习率（learning rate），从上式可看出，若感知器对训练样例（x，y）预测正确，即，则感知器不发生变化，否则将根据错误的程度进行权重调整。

单层感知器的缺陷

需要注意的是，单层感知器只有输出层神经元进行激活函数处理，即只拥有一层功能神经元（functional neuron），其学习能力非常有限，事实上，上述与、或、非问题都是线性可分的问题，可以证明，若两类模式是线性可分的，即存在一个线性超平面能将它们分开，感知器的学习过程一定会收敛（converge）而求得适当的权向量w=（w1；w2；.... ；wn；w（n+1））；否则感知器学习过程将会发生振荡，w难以稳定下来，不能求得合适的解。即使是非常简单的非线性可分问题也不能解决，如：异或问题。

多层网络

要解决非线性可分问题，需要考虑使用多层功能神经元。例如图5.5中这个简单的两层感知器就能解决异或问题，在图中，输出层与输入层之间的一层神经元，被称为隐层或隐含层（hidden layer），隐含层和输入层神经元都是拥有激活函数的功能神经元。

更一般地，常见的神经网络是形如图5.6所示的层级结构，每层神经元与下一层神经元全互连，神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接，这样的神经网络结构通常称为“多层前馈神经网络”，其中输入层神经元接收外界输入，隐层与输入层神经元对信号进行加工，最终结果由输出层神经元输出；换言之，输入层神经元仅是接受输入，不进行函数处理，隐层与输出层包含功能神经元。因此，图5.6（a）通常被称为“两层网络”，即称为单隐层网络，只需包含隐层，即可称为多层网络。神经网络的学习过程，就是根据训练数据来调整神经元之间的“连接权”以及每个功能神经元的阈值；换言之，神经网络“学”到的东西，蕴含在连接权与阈值中。

利用感知器实现线性分类

接下来通过单层感知器来实现对样本的线性分类，这里选用的激活函数为符号函数：

为了处理方便，这里将x=0的情况归为sgn(0)=1，即

# 导入一些需要的包
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义自定义的符号函数
def sign(vec):if vec >= 0:return 1else:return -1

# 训练权重和阈值
def train(train_num, train_datas, lr):  # lr为学习率w = [0, 0]b = 0for i in range(train_num):x = random.choice(train_datas)  # 从序列中获取一个随机元素x1, x2, y = x  # 把随机选取的样本的分量依次赋值给x1，x2，yif(y*sign((w[0]*x1 + w[1]*x2 + b)) <= 0):  # 训练算法，如果符号函数与输出结果不一致，则更新权重和阈值w[0] += lr*y*x1w[1] += lr*y*x2b += lr*yreturn w, b  # 最终返回训练完成的权重和阈值

# 通过画图来查看模型对样本分类的好坏
def plot_points(train_datas, w, b):plt.figure()  # 创建图表x1 = np.linspace(0, 8, 100)x2 = (-b-w[0]*x1)/w[1]  # 分类直线满足的方程plt.plot(x1, x2, color='r', label='y1 data')  # 画出分类直线datas_len = len(train_datas)  # 看有几行，几个样本for i in range(datas_len):if(train_datas[i][-1]==1):  # 正样本用圆点标记,向量的最后一个分量[-1]，也可以用[2]plt.scatter(train_datas[i][0], train_datas[i][1], s=50)else:plt.scatter(train_datas[i][0], train_datas[i][1], marker='x',s=50)  # 负样本用x标记plt.show()  # 画图

在上段程序中，对于已经训练好的权重和阈值，满足：

所以有

# 执行程序
if __name__=='__main__':train_data1 = [[1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 8, 1], [2, 6, 1]]  # 正样本train_data2 = [[2, 1, -1], [4, 1, -1], [6, 2, -1], [7, 3, -1]]  # 负样本train_datas = train_data1 + train_data2  # 样本集print(train_datas)w, b = train(train_num=50, train_datas=train_datas, lr=0.01)  # 训练50次plot_points(train_datas, w, b)  # 画出样本点及分类直线

显示结果：

在以后的博客中，逐渐涉及多层神经网络的构建与应用，深入其中，更能体会到神经网络的奥妙。

参考：

1、机器学习/周志华著.--北京：清华大学出版社，2016（2017.3重印）