漫步数理统计二—

对象集合的概念通常还未定义，然而可以描述特定的集合使得我们考虑的对象集合没有歧义。例如前10个正整数的集合就非常清楚，34,14\frac{3}{4},14均不在这个集合中，而3在这个集合中。如果对象属于这个集合，我们就说它是集合的元素，例如如果CC表示0≤x≤10\leq x\leq 1的xx集合，那么34\frac{3}{4}就是集合CC的一个元素，34\frac{3}{4}是集合CC的一个元素这个事实可以写成34∈C\frac{3}{4}\in C，更一般得，c∈Cc\in C意味着cc是集合CC的一个元素。

我们关注的集合大部分都是数集，然而，点集的语言比数集稍微方便点。因此，我们简要说明我们如何使用这个术语。解析几何中比较重视的事实是对于一条线上的每个点（原点和单位点已经选出来了）有且只有一个数与之对应，假设为xx；并且对于每个数xx，在直线上有且只有一个点与之对应。在不产生歧义的情况下，这个数与点之间一一对应关系使得我们说点xx而不是数xx，更进一步，在平面矩形坐标系中，对于每个符号(x,y)(x,y)，平面中有且仅有一个点与之对应；对于平面中的每个点，有且仅有一个这样的符号。因此我们可以说点(x,y)(x,y)，这就意味着有序数对x,yx,y。当我们讨论三维或更高维空间的矩形坐标系时经常用这种语言，因此点(x1,x2,…,xn)(x_1,x_2,\ldots,x_n)意味着有序状态的数x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n。所以在描述集合时，我们经常用点集(元素都是点的集合)进行描述，符号C={x:0≤x≤1}C=\{x:0\leq x\leq 1\}表示CC是xx的一维集合，其中0≤x≤10\leq x\leq 1，同样得，C={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1}C=\{(x,y):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}表示CC是点(x,y)(x,y)的二维集合。现在我们给出一些定义，有他们导出集合的基本代数。

定义1：\textbf{定义1：}如果集合C1C_1的每个元素也是集合C2C_2的一个元素，那么集合C1C_1称为集合C2C_2的一个子集，我们写成C1⊂C2C_1\subset C_2。如果C1⊂C2C_1\subset C_2且C2⊂C1C_2\subset C_1，那么这两个集合有相同的元素，我们写成C1=C2C_1=C_2。

例1：\textbf{例1：}令C1={x:0≤x≤1},C2={x:−1≤x≤2}C_1=\{x:0\leq x\leq 1\},C_2=\{x:-1\leq x\leq 2\}，这里一维集合C1C_1看成一维集合C2C_2的一个子集；即C1⊂C2C_1\subset C_2。以后在集合维数清楚的情况下，我们就不再具体的提及了。

例2：\textbf{例2：}定义两个集合C1={(x,y):0≤x=y≤1},C2={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1}C_1=\{(x,y):0\leq x=y\leq 1\},C_2=\{(x,y):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}，因为C1C_1的元素位于方形对角线上，所以C1⊂C2C_1\subset C_2。

定义2：\textbf{定义2：}如果集合CC没有元素，那么称CC为空集，写作C=ϕC=\phi。

定义3：\textbf{定义3：}至少属于C1,C2C_1,C_2中一个集合的所有元素构成的集合称为C1,C2C_1,C_2的并，写作C1∪C2C_1\cup C_2。集合C1,C2,C3,…C_1,C_2,C_3,\ldots的并由至少属于一个集合元素构成，表示为C1∪C2∪C3∪⋯C_1\cup C_2\cup C_3\cup\cdots，当集合是有限个时写成C1∪C2∪⋯CkC_1\cup C_2\cup\cdots C_k。

例3：\textbf{例3：}定义集合C1={x:x=8,9,10,11,or 11<x≤12},C2={x:x=0,1,…,10}C_1=\{x:x=8,9,10,11,or\ 11，那么

C1∪C2={x:x=0,1,…,8,9,10,11,or 11<x≤12}={x:x=0,1,…,8,9,10,or 11≤x≤12}

\begin{align*} C_1\cup C_2 &=\{x:x=0,1,\ldots,8,9,10,11,or\ 11

例4：\textbf{例4：}C1,C2C_1,C_2定义如例2，那么C1∪C2=C2C_1\cup C_2=C_2。

例5：\textbf{例5：}令C2=ϕC_2=\phi，那么对于所有的C1,C1∪C2=C1C_1,C_1\cup C_2=C_1。

例6：\textbf{例6：}对每个集合C,C∪C=CC,C\cup C=C。

例7：\textbf{例7：}令

Ck={x:1k+1≤x≤1},k=1,2,3,…

C_k=\{x:\frac{1}{k+1}\leq x\leq 1\},k=1,2,3,\ldots

那么C1∪C2∪C3∪⋯={x:0<x≤1}C_1\cup C_2\cup C_3\cup\cdots=\{x:0，注意零不在这个集合中，因为任何一个C1,C2,C3,…C_1,C_2,C_3,\ldots中都没有零。

定义4：\textbf{定义4：}同时属于C1,C2C_1,C_2的所有集合称为C1,C2C_1,C_2的交，C1,C2C_1,C_2的交写作C1∩C2C_1\cap C_2，集合C1,C2,C3,…C_1,C_2,C_3,\ldots的交是属于C1,C2,C3,…C_1,C_2,C_3,\ldots的所有元素，表示成C1∩C2∩C3∩⋯C_1\cap C_2\cap C_3\cap\cdots，如果集合是有限多个的，那表示成C1∩C2∩⋅∩CkC_1\cap C_2\cap\cdot\cap C_k。

例8：\textbf{例8：}令C1={(0,0),(0,1),(1,1)},C2={(1,1),(1,2),(2,1)}C_1=\{(0,0),(0,1),(1,1)\},C_2=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}，那么C1∩C2={(1,1)}C_1\cap C_2=\{(1,1)\}。

例9：\textbf{例9：}令C1={(x,y):0≤x+y≤1},C2={(x,y):1<x+y}C_1=\{(x,y):0\leq x+y\leq 1\},C_2=\{(x,y):1，那么C1,C2C_1,C_2没有公共点，即C1∩C2=ϕC_1\cap C_2=\phi。

例10：\textbf{例10：}对于每个集合C,C∩C=C,C∩ϕ=ϕC,C\cap C=C,C\cap\phi=\phi。

例11：\textbf{例11：}令

Ck={x:0<x<1k},k=1,2,3,…

C_k=\{x:0
那么 C1∩C2∩C3∩⋯C_1\cap C_2\cap C_3\cap\cdots是空集，因为没有一个点属于集合 C1∩C2∩C3∩⋯C_1\cap C_2\cap C_3\cap\cdots。

例12：\textbf{例12：}令C1,C2C_1,C_2分别表示由两个相交的圆围成的点集，那么集合C1∪C2,C1∩C2C_1\cup C_2,C_1\cap C_2可以用如图???\ref{fig:1} 所示的维纳图表示。

图1

例13：\textbf{例13：}令C1,C2,C3C_1,C_2,C_3分别表示三个相交的圆围成的点，那么集合(C1∪C2)∩C3,(C1∩C2)∪C3(C_1\cup C_2)\cap C_3,(C_1\cap C_2)\cup C_3如图???\ref{fig:2}所示。

图2

定义5：\textbf{定义5：}在某些讨论中，可能需要描述讨论的所有元素，考虑的所有元素组成的集合我们称之为空间，惊心啊过用字母C,D\textbf{C,D}表示。

例14：\textbf{例14：}掷四次硬币，头朝上的次数记为xx，这个值可能为0,1,2,3,4，这里的空间就是集合C={0,1,2,3,4}\textbf{C}=\{0,1,2,3,4\}。

例15：\textbf{例15：}考虑底为xx高为yy的非退化矩形，为了有意义x,yx,y都为正值，那么这个空间就是C={(x,y):x>0,y>0}\textbf{C}=\{(x,y):x>0,y>0\}。

定义6：\textbf{定义6：}令C\textbf{C}表示空间，CC是集合C\textbf{C}的一个子集，属于C\textbf{C}但不属于CC的集合称为CC的补给，用CcC^c表示，特别地Cc=ϕ\textbf{C}^c=\phi。

例16：\textbf{例16：}C\textbf{C}与例14一样，令C={0,1}C=\{0,1\}，那么CC的补是Cc={2,3,4}C^c=\{2,3,4\}。

例17：\textbf{例17：}给定C⊂CC\subset\textbf{C}，那么C∪Cc=C,C∩Cc=ϕ,C∪C=C,C∩C=C,(Cc)c=CC\cup C^c=\textbf{C},C\cap C^c=\phi,C\cup\textbf{C}=\textbf{C},C\cap\textbf{C}=C,(C^c)^c=C。

例18：\textbf{例18：}(德摩根定律)令C\textbf{C}表示一个空间，Ci⊂C,i=1,2C_i\subset\textbf{C},i=1,2，那么

(C1∩C2)c=Cc1∪Cc2(C1∪C2)c=Cc1∩Cc2

\begin{align*} &(C_1\cap C_2)^c=C_1^c\cup C_2^c\\ &(C_1\cup C_2)^c=C_1^c\cap C_2^c \end{align*}

在微积分中，像函数

f(x)=2x,−∞<x<∞

f(x)=2x,\quad -\infty

或者

g(x,y)={e−x−y00<x<∞,0<y<∞elsewhere

g(x,y)= \begin{cases} e^{-x-y}&0

再或者

h(x1,x2,…,xn)={3x1x2…xn00≤xi≤1,i=1,2,…,nelsewhere

h(x_1,x_2,\ldots,x_n)= \begin{cases} 3x_1x_2\ldots x_n&0\leq x_i\leq 1,i=1,2,\ldots,n\\ 0&elsewhere \end{cases}

经常出现，f(x)f(x)在点x=1x=1处的值为f(1)=2f(1)=2；g(x,y)g(x,y)在点(−1,3)(-1,3)处的值为g(−1,3)=0g(-1,3)=0；h(x1,x2,…,xn)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)在点(1,1,…,1)(1,1,\ldots,1)处的值为3。像这样的函数称为一个点的函数，或者简单点为点函数，因为他们是由指定空间中的某点处进行估计的。

如果他们有用的话，我们没必要只在一个点处进行估计，而是考虑整个点集。这样的函数自然成为集合函数，接下来我们给出集合函数的实例以及对某些简单的集合进行估计。

例19：\textbf{例19：}令CC是一维空间的集合，Q(C)Q(C)等于CC 中正整数的总数，那么Q(C)Q(C)是集合CC的一个函数，因此，如果C={x:0<x<5}C=\{x:0，那么Q(C)=4Q(C)=4；如果C={−2,−1}C=\{-2,-1\}，那么Q(C)=0Q(C)=0；如果C={x:−∞<x<6}C=\{x:-\infty，那么Q(C)=5Q(C)=5。

例20：\textbf{例20：}令CC是二维空间的一个集合，如果CC的面积是有限的，那么令Q(C)Q(C)是CC的面积；否则Q(C)Q(C)未定义。因此，如果C={(x,y):x2+y2≤1}C=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}，那么Q(C)=πQ(C)=\pi；如果C={(0,0),(1,1),(0,1)}C=\{(0,0),(1,1),(0,1)\}，那么Q(C)=0Q(C)=0；如果C={(x,y):0≤x,0≤y,x+y≤1}C=\{(x,y):0\leq x,0\leq y,x+y\leq 1\}，那么Q(C)=12Q(C)=\frac{1}{2}。

例21：\textbf{例21：}令CC是三维空间的一个集合，如果CC的体积是有限的，那么令Q(C)Q(C)是CC的体积；否则Q(C)Q(C)未定义。因此，如果C={(x,y,z):0≤x≤2,0≤y≤1,0≤z≤3}C=\{(x,y,z):0\leq x\leq 2,0\leq y\leq 1,0\leq z\leq 3\}，那么Q(C)=6Q(C)=6；如果C={(x,y,z):x2+y2+z2≥1}C=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\geq 1\}，那么Q(C)Q(C)未定义。

现在我们引入下面的符号，

∫Cf(x)dx

\int_C f(x)dx
表示 f(x)f(x)在一维空间集合 CC上的(黎曼)积分；

∬Cg(x,y)dxdy

\iint_C g(x,y)dxdy
表示 g(x,y)g(x,y)在二维空间集合 CC上的黎曼积分，等等。除非集合CC，函数 f(x),g(x,y)f(x),g(x,y)认真选取，否则一般都无法进行积分。同样的，

∑Cf(x)

\sum_C f(x)
表示在整个 x∈Cx\in C上的和；

∑∑Cg(x,y)

\sum\sum_C g(x,y)
表示在整个 (x,y)∈C(x,y)\in C上的和；等等。

例22：\textbf{例22：}令CC是一维空间中的集合，Q(C)=ΣCf(x)Q(C)=\Sigma_C f(x)，其中

f(x)={(12)x0x=1,2,3,…elsewhere

f(x)= \begin{cases} (\frac{1}{2})^x&x=1,2,3,\ldots\\ 0&elsewhere \end{cases}
如果 C={x:0≤x≤3}C=\{x:0\leq x\leq 3\}，那么

Q(C)=12+(12)2+(12)3=78

Q(C)=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3=\frac{7}{8}

例23：\textbf{例23：}令Q(C)=ΣCf(x)Q(C)=\Sigma_C f(x)，其中

f(x)={px(1−p)(1−x)0x=0,1elsewhere

f(x)= \begin{cases} p^x(1-p)^(1-x)&x=0,1\\ 0&elsewhere \end{cases}
如果 C={0}C=\{0\}，那么

Q(C)=∑(x=0)0px(1−p)1−x=1−p

Q(C)=\sum_(x=0)^0p^x(1-p)^{1-x}=1-p
如果 C={x:1≤x≤2}C=\{x:1\leq x\leq 2\}，那么 Q(C)=f(1)=pQ(C)=f(1)=p。

例24：\textbf{例24：}令CC是一维集合，

Q(C)=∫Ce−xdx

Q(C)=\int_C e^{-x}dx
那么如果C={x:0≤x≤∞}C=\{x:0\leq x\leq\infty\}，那么

Q(C)=∫∞0e−xdx=1

Q(C)=\int_0^\infty e^{-x}dx=1
如果 C={x:1≤x≤2}C=\{x:1\leq x\leq 2\}，那么

Q(C)=∫21e−xdx=e−1−e−2

Q(C)=\int_1^2 e^{-x}dx=e^{-1}-e^{-2}
如果 C1={x:0≤x≤1},C2={x:1<x≤3}C_1=\{x:0\leq x\leq 1\},C_2=\{x:1，那么

Q(C1∪C2)=∫30e−xdx=∫10e−xdx+∫31e−xdx=Q(C1)+Q(C2)

\begin{align*} Q(C_1\cup C_2) &=\int_0^3 e^{-x}dx\\ &=\int_0^1 e^{-x}dx+\int_1^3 e^{-x}dx\\ &=Q(C_1)+Q(C_2) \end{align*}
如果 C=C1∪C2C=C_1\cup C_2，其中 C1={x:0≤x≤2},C2={x:1≤x≤3}C_1=\{x:0\leq x\leq 2\},C_2=\{x:1\leq x\leq 3\}，那么

Q(C)=Q(C1∪C2)=∫30e−xdx=∫20e−xdx+∫31e−xdx−∫21e−xdx=Q(C1)+Q(C2)−Q(C1∩C2)

\begin{align*} Q(C)=Q(C_1\cup C_2) &=\int_0^3 e^{-x}dx\\ &=\int_0^2 e^{-x}dx+\int_1^3 e^{-x}dx-\int_1^2 e^{-x}dx\\ &=Q(C_1)+Q(C_2)-Q(C_1\cap C_2) \end{align*}

例25：\textbf{例25：}令CC是nn维空间的集合，

Q(C)=∫⋯∫Cdx1dx2⋯dxn

Q(C)=\int\cdots\int_Cdx_1dx_2\cdots dx_n

如果C={(x1,x2,…,xn):0≤x1≤x2≤⋯≤xn≤1}C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n):0\leq x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n\leq 1\}，那么

Q(C)=∫10∫xn0⋯∫x30∫x20dx1dx2…dxn−1dxn=1n!

\begin{align*} Q(C) &=\int_0^1\int_0^{x_n}\cdots\int_0^{x_3}\int_0^{x_2}dx_1dx_2\ldots dx_{n-1}dx_n\\ &=\frac{1}{n!} \end{align*}

其中n!=n(n−1)⋯3⋅2⋅1n!=n(n-1)\cdots3\cdot2\cdot1。

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