字符串匹配问题 ----- Rabin-Karp算法

题意：

任意给定一段字符串str（“123abc123abc00abc”）
再输入一个关键字key（“abc”）
要求返回str中包含key的所有子串的头下标

解法1（暴力法）

思路：

以key串长度进行窗口滑动
str中[startIndex, endIndex]的子串与key相同则匹配

复杂度：窗口在n长度的母串滑动复杂度为O(n)，每次比较m长度子串与key串的复杂度为O(m)，综合来看暴力法复杂度为O(n*m)

    public static ArrayList<Integer> match(String str, String key) {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();for(int startIndex = 0; startIndex < str.length(); startIndex++) {int endIndex;if((endIndex = startIndex + key.length() -1) > str.length() - 1) break;if(str.substring(startIndex,endIndex + 1).equals(key)) {list.add(startIndex);}}return list;}

解法2（Rabin-Karp算法 ----- 哈希法）

思路：

以key串长度进行窗口滑动
使用哈希算法计算出key串的哈希值
str中[startIndex, endIndex]的子串的哈希值与key串哈希值相同则匹配

复杂度：窗口在n长度的母串滑动复杂度为O(n)，每次比较m长度子串的哈希值与key串哈希值复杂度为O(1)，每次计算m长度子串的哈希值与key串哈希值复杂度为O(m)，综合来看该方法复杂度为O(n*m)

 private static final int seed = 31;public static ArrayList<Integer> match2(String str, String key) {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();long hashOfKey = hash(key);for (int startIndex = 0; startIndex < str.length(); startIndex++) {int endIndex;if ((endIndex = startIndex + key.length() - 1) > str.length() - 1) break;if (hash(str.substring(startIndex, endIndex + 1)) == hashOfKey) list.add(startIndex);}return list;}// 哈希算法public static long hash(String str) {int hash = 0;for (int i = 0; i < str.length(); i++) {hash = hash * seed + str.charAt(i);}return hash % Long.MAX_VALUE;}

关于哈希算法作用、原理和哈希冲突：

作用：能够唯一表示一个字符串，相同的字符串其哈希值相同，不相同的字符串哈希值一定不同

原理："abc"字符串的哈希值为(seed2∗a+seed1∗a+seed0∗a)(seed^2 * a + seed^1 * a + seed^0 * a)(seed2∗a+seed1∗a+seed0∗a)% Long.MAX_VALUE，可以理解成一个递推式：an+1=seed∗an+srt(n)a_{n+1} = seed*a_n + srt(n)an+1=seed∗an+srt(n)(n=0,1,2,3…)，当n=0时an=0a_n=0an=0

哈希冲突：哈希冲突的意思就是，使用该哈希算法后，可能会出现不同字符串的哈希值也相同，这是有一定概率会出现的误差，本哈希算法计算100万个字符串的哈希值，可能会出现110个左右的冲突数

优化：

使用滚动哈希法计算出母串中所有key串长度的子串哈希值，保存在一个数组中
滚动哈希的原理：
1. 先计算出第一个窗口长度的子串哈希值，复杂度为O(m)
2. 利用公式：本窗口子串哈希值=上一个窗口子串的哈希值 * seed + 本窗口最后一个字符 - 上一个窗口第一个字符*pow(seed,lengthOfKey)，例如(C0∗seed2+C1∗seed1+C2∗seed0)(C_0*seed^2+C_1*seed^1+C_2*seed^0)(C0∗seed2+C1∗seed1+C2∗seed0)是第一个窗口的哈希值，那么第二个窗口的哈希值就为(第一个窗口哈希值 * seed)−C0∗seed3-C_0*seed^3−C0∗seed3，该循环复杂度为O(n)
3. 综上上滚动哈希的复杂度为O(m+n)
最后进行窗口滑动把key串哈希值与保存了所有子串哈希值的数组进行匹配

    public static ArrayList<Integer> match3(String str, String key) {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();// 滚动哈希(O(m+n))long[] hashes = hashes(str, key.length());// 求key串哈希值(O(m))int hashOfKey = hash(key);// 窗口扫描匹配哈希值(O(n))for (int startIndex = 0; startIndex < str.length(); startIndex++) {int endIndex;if ((endIndex = startIndex + key.length() - 1) > str.length() - 1) break;if (hashOfKey == hashes[startIndex]) list.add(startIndex);}return list;}public static long[] hashes(String str, int lengthOfKey) {long[] hashes = new long[str.length() - lengthOfKey + 1];hashes[0] = hash(str.substring(0, lengthOfKey));for (int startIndex = 1; startIndex < str.length(); startIndex++) {int endIndex;if ((endIndex = startIndex + lengthOfKey - 1) > str.length() - 1) break;// 滚动哈希算法：本窗口子串哈希值=上一个窗口子串的哈希值 * seed + 本窗口最后一个字符 - 上一个窗口第一个字符*pow(seed,lengthOfKey)hashes[startIndex] = hashes[startIndex - 1] * seed + str.charAt(endIndex) - str.charAt(startIndex - 1) * (long) Math.pow(seed, lengthOfKey);}return hashes;}public static long hash(String str) {int hash = 0;for (int i = 0; i < str.length(); i++) {hash = hash * seed + str.charAt(i);}return hash % Long.MAX_VALUE;}

收获：

滑动窗口的startIndex与保存了所有子串哈希值的数组下标同步
滚动哈希的核心思想：本窗口子串哈希值=上一个窗口子串的哈希值 * seed + 本窗口最后一个字符 - 上一个窗口第一个字符*pow(seed,lengthOfKey)，可以自己举例子推导出来

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