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动态规划解题思路

以01背包问题为例

一、状态表示dp[ i ][ j ]

根据枚举思想抽象出一种集合
步骤：
1. 明确问题目的
  01背包问题的目的是从一堆有权重和体积的物品中存放到一定体积的背包中，要求找到能让放在背包中的物品总价值和最大那种取法。
2. 根据枚举思想抽象出集合
  问题的目的是找到最佳取法，那么根据枚举思想，我们需要枚举出所有的取法，那么抽象出来的集合就是：从前 i(0 ~ n) 个物品中考虑并且选出的物品总体积不能超过 j(0 ~ m)，每种不同的 i、j 取值对应着不同的集合。
  
  e.g.
  - 从前0个物品中考虑，并且取出的物品总体积不能超过0
  - 从前0个物品中考虑，并且取出的物品总体积不能超过1
  - …
  - 从前3个物品中考虑，并且取出的物品总体积不能超过0
  - 从前3个物品中考虑，并且取出的物品总体积不能超过1
  - …
  以上的不同的 i、j 取值就是不同的集合，其中每种集合内的元素就是所有不同的取法。
3. 每个集合都具有属性
  根据动态规划的几种题型，集合的属性为：元素最大值、元素最小值、元素个数。
4. 抽象集合的作用
  (1) 帮助确定几维状态
  (2) 帮助确定每种状态的含义
  (3) 后面对于集合的划分可以求得状态转移方程
根据抽象出来的集合来确定用几维的状态

01背包问题中每种集合的 i(考虑前几个物品数) 和 j(取出的总体积) 为变量，所以这里可以定义为二维状态 dp[ i ][ j ]。
根据抽象集合来明确每一种状态的含义是什么

集合的含义是从前 i(0 ~ n) 个物品中考虑并且选出的物品总体积不能超过 j(0 ~ m) 所有取法的集合，根据01背包问题的目的，我们就是要找到集合的最大值，那么就能想出，dp[ i ][ j ] 表示的是每一种集合中，某种选法能让选取物品的总价值最大的那一种选法 (状态)，dp[ i ][ j ] 的含义就是从前 i 个物品中考虑并且选出的物品总体积不能超过 j 的最大价值。

二、状态计算 —— 集合划分

子集划分的原则：
- 不重 (求最值的时候可以重复，计算数量的时候不行)
- 不漏
子集划分依据：

以最后开始的第一个不同条件作为划分依据，例如：01背包问题中从最后开始的第一个不同条件就是选第 i 个物品或不选第 i 个物品

01背包问题中将集合划分为下面两大类：
- 选取物品的时候不去选第 i 件物品：dp[i][j]=dp[i−1][j]dp[i][j]=dp[i - 1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]
- 选取物品的时候一定选到第 i 件物品：dp[i][j]=dp[i−1][j−v[i]]+w[i]dp[i][j]=dp[i-1][j - v[i]] + w[i]dp[i][j]=dp[i−1][j−v[i]]+w[i]
状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−v[i]]+w[i])dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i])dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−v[i]]+w[i])

通过状态转移方程求出所有的状态后：

01背包问题的目的是从 n 件物品中选取，并且总体积不超过 m 的最大价值，那么根据 dp[ i ][ j ] 的含义就可以得出答案为 dp[ n ][ m ]

三、DP优化

对动态规划的代码或者状态转移方程进行等价的变形

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