实验8       最短路的求解

实验类型：◆验证性实验  ◇综合性实验  ◇设计性实验

实验目的：学会使用Matlab求解最短路。

实验内容：1.Floyd算法；2.利用Matlab编程实现最短路的计算。

例：已知有6个村子，相互间道路如图所示。欲合建一所小学，已知A处有小学生50人，B处40人，C处60人，D处20人，E处70人，F处90人，问学校应建在哪个村子，使得学生上学最方便。

实验原理：

Floyd算法属于动态规划，其状态转移方程如下map[i , j] =min{map[i , k] + map[k , j] , map[i , j] }；map[i , j]表示 i 到 j 的最短距离，K是穷举 i , j 的断点，map[n , n]初值应该为0。

实验步骤：

1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i][j]=d，d表示该路的长度；否则G[i][j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i][j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i][j]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值变小，则D[i][j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

程序代码：

function[dist,mypath]=myfloyd(a,sb,db)

%寻找i,j两点最短路径

% 输入：a—邻接矩阵，元素(aij)是顶点i到j之间的直达距离，可以是有向的

% sb—起点的标号；db—终点的标号

% 输出：dist—最短路的距离；% mypath—最短路的路径

n=size(a,1);path=zeros(n);

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)

a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);

path(i,j)=k;

end

end

end

end

dist=a(sb,db);

parent=path(sb,:);%从起点sb到终点db的最短路上各顶点的前驱顶点

parent(parent==0)=sb;%path中的分量为0，表示该顶点的前驱是起点

mypath=db;t=db;

while t~=sb

p=parent(t);

mypath=[p,mypath];

t=p;

end

function[path]=myfloyd2(a)

%寻找各顶点之间的最短通路

% 输入：a—邻接矩阵，元素(aij)是顶点i到j之间的直达距离，可以是有向的

% 输出：path—各顶点之间的最短通路值

n=length(a);

a(a==0)=inf;

a([1:n+1:n^2])=0;%对角线元素替换成零，Matlab中数据是逐列存储的

path=zeros(n);

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)

a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);

path(i,j)=k;

end

end

end

end

end

输出结果：

>> a= [0 2 7 inf inf inf

2 0 4 6 8 inf

7 4 0 1 3 inf

inf 6 1 0 1 6

inf 8 3 1 0 3

inf inf inf 6 3 0];

>>[path]=myfloyd2(a)

path =

0    0     2     3    4     5

0    0     0     3    4     5

2    0     0     0    4     5

3    3     0     0    0     5

4    4     4     0    0     0

5    5     5     5    0     0

>> a= [0 2 7 inf inf inf

2 0 4 6 8 inf

7 4 0 1 3 inf

inf 6 1 0 1 6

inf 8 3 1 0 3

inf inf inf 6 3 0];

>> sb= 1;

>> db= 6;

>>[dist,mypath]=myfloyd(a,sb,db)

dist =

11

mypath

1    2     3     4    5     6

实验总结：通过本次实验我学习了Floyd算法，用Floyd算法来求解最短路问题；通过本次实验我掌握了Floyd算法的基本原理；训了了我编写程序的能力，以及把数学方法转化为算法的能力；本次实验中我发现了自身在编写程序方面的一些不足；在今后的学习中编写代码的能力有待提高。