1 概述

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关键路径法

全称：Critical Path Method，CPM

关键路径：从开始到结束的所有路径中，用时最长的一条路径

松弛时间：最多延迟执行的时间

2 相关计算

以下相关计算，以此图为例

在网络图中的某些活动可以并行地进行，所以完成工程的最少时间是从开始顶点到结束顶点的最长路径长度，即：关键路径，关键路径上的活动为关键活动。（若满足该时间，则其他活动一定已完成）

2.1 关键路径

关键路径：从开始到结束的所有路径中，用时最长 的一条路径
- 如上图：关键路径为：A-B-D-G-I-K-L，
- 关键路径总时间： 22 天（2+5+2+6+4+3）
- 注意：关键路径上的路径，松弛时间为 0
最早开始时间：任务从开始到执行的最早时间（若在关键路径上，沿关键路径；不在关键路径上，走包含该任务的最长路径）
- 以 EH 为例，最早开始时间 = A-B-C-E = 2+3+2 = 7 天
- 以 IJ 为例，最早开始时间 = A-B-D-G-I = 2+5+2+6 = 15 天
最晚开始时间：关键路径的总时间 - 该任务继续执行所需时间
- 以 EH 为例，最晚开始时间 = 22 - (E-H-L) = 22 - (4+6)= 12 天
- 以 IJ 为例，最晚开始时间 = 22 - (I-J-L) = 22 - (3+1) = 18 天

2.2 松弛时间

松弛时间：不影响完工的前提下，可以被推迟完成的最大时间。有以下两种计算方法
① 关键路径的总时间 - 包含该任务的最长路径的总时间（若在关键路径上，沿关键路径）
- 以 EH 为例。松弛时间 = 22 - (2+3+2+4+6) = 5 天
- 以 IJ 为例。松弛时间 = 22 - (2+5+2+6+3+1) = 3 天
② 最晚开始时间 - 最早开始时间
- 以 EH 为例。松弛时间 = 12 - 7 = 5 天
- 以 IJ 为例。松弛时间 = 18 - 15 = 3 天

3 扩展

3.1 网工软考真题

【2017下半年 - 7,8】某软件项目的活动图如下图所示，其中顶点表示项目里程碑，连接顶点的边表示包含的活动，边上的数字表示活动的持续时间（天）。完成该项目的最少时间为（7）。由于某种原因，现在需要同一个开发人员完成BC和BD，到完成该项目如最少时间为（8）天。

(7) A.11
　 B.18
　 C.20
　 D.21
(8) A.11
　 B.18
　 C.20
　 D.21

参考答案：7=B，8=C
关键路径：最长的一段（abcefj==abdgfj=18天），bd、bc只能由同一个人来完成，因此最快的方式为，先完成bd再去完成bc（因此相当于此时，关键路径abcefj上推迟了2天完成，因此此时项目完成的最少时间为20天）。

【2016下半年 - 7,8】某软件项目的活动图如下图所示，其中顶点表示项目里程碑，连接顶点的边表示包含的活动，边上的数字表示相应活动的持续时间（天），则完成该项目的最少时间为（7）天。活动BC和BF最多可以晚开始（8）天而不会影响整个项目的进度。

(7) A.11
　 B.15
　 C.16
　 D.18
(8) A.0 和 7
　 B.0 和 11
　 C.2 和 7
　 D.2 和 11

参考答案：7=D，8=A
关键路径：A-B-C-E-F-J 和 A-B-D-G-F-J，其长度为 18
活动 BC 在关键路径上，所以松弛时间为 0
活动 BF 不在关键路径上，松弛时间 = 关键路径总时间 - (A-B-F-J) = 28 - 11 = 7

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