3D射影几何与变换（1）

这篇主要介绍在3D射影几何中的基本元素，包括平面和直线，以及他们各自的性质。
3D射影几何的许多内容是2D射影几何的直接推广，但也有许多不一样的地方，比如这篇要介绍的一个重要不同：在IP3IP^3IP3中，点与平面对偶，而直线自对偶。

平面

平面方程
在3D空间中，平面方程写作：
π1X+π2Y+π3Z+π4=0\pi_1 X + \pi_2 Y + \pi_3 Z + \pi_4 = 0 π1X+π2Y+π3Z+π4=0
显然，该等式乘一个非0标量仍成立，所以只有3个自由度，可以写成齐次坐标：π=(π1,π2,π3,π4)T\pi = (\pi_1, \pi_2,\pi_3,\pi_4)^Tπ=(π1,π2,π3,π4)T，这就是IP3IP^3IP3中的平面齐次坐标表示。
这个齐次坐标形式对应于欧式几何中的写法：nX^+d=0n\hat{X}+d=0nX^+d=0，其中n=(π1,π2,π3)T,X^=(X,Y,Z)T,X4=1,π4=dn=(\pi_1,\pi_2,\pi_3)^T,\hat{X}=(X,Y,Z)^T,X_4=1,\pi_4=dn=(π1,π2,π3)T,X^=(X,Y,Z)T,X4=1,π4=d，其中d∣∣n∣∣\frac{d}{||n||}∣∣n∣∣d为平面到原点的距离。
对于在平面上的点X，有方程：πTX=0\pi^TX=0πTX=0。
平面的代数确定
众所周知，三点确定一条平面。我们可以将三个点在平面上的方程堆叠成一个矩阵：
[X1TX2TX3T]π=0\left[ \begin{matrix} X_1^T \\ X_2^T \\ X_3^T \end{matrix} \right]\pi = 0 ⎣⎡X1TX2TX3T⎦⎤π=0
矩阵大小为3x4，则该平面由矩阵的一维右零空间确定。若该矩阵不满秩，则说明三点在一条直线上，此时由零空间确定以该直线为轴的平面束。
在具体计算中，我们可以从一个矩阵开始，它包含确定平面的三个点和一个任意点：
M=[X,X1,X2,X3]M = [X, X_1, X_2, X_3] M=[X,X1,X2,X3]
当X在平面上时，该矩阵的秩退化为3，于是行列式等于0，按点X=(x1,x2,x3,x4)TX=(x_1,x_2,x_3,x_4)^TX=(x1,x2,x3,x4)T展开行列式可得：
detM=x1D234−x2D134+x3D124−x4D123=0detM = x_1D_{234} - x_2 D_{134} + x_3 D_{124} - x_4D_{123}=0 detM=x1D234−x2D134+x3D124−x4D123=0
所以平面有以下表示：
π=(D234,−D134,D124,−D123)\pi = (D_{234}, -D_{134}, D_{124}, -D_{123}) π=(D234,−D134,D124,−D123)
射影变换
对应于点变换：x′=Hxx'=Hxx′=Hx，平面的单应变换为π′=H−Tπ\pi' = H^{-T}\piπ′=H−Tπ，与2D中直线变换一样。
平面上点的参数表示
平面上的点只有2个自由度，所以可以用三维向量来表示，这种三维向量表示称为平面上点的参数化表示。
给出平面上三个不共线的点X1,X2,X3X_1,X_2,X_3X1,X2,X3，则平面上任意一点可以写作这三个点的线性组合：
X=αX1+βX2+γX3X=\alpha X_1 + \beta X_2 + \gamma X_3X=αX1+βX2+γX3
这样就得到了平面上点的参数化表示：x=(α,β,γ)Tx=(\alpha, \beta, \gamma)^Tx=(α,β,γ)T。

直线

直线在三维射影空间中表示为两点的连接或者平面的交线，所以直线有4个自由度，也因为这个原因，在3维射影空间上难以表示直线（4个自由度需要5维的齐次坐标），所以就有以下两种并非直接的表示方式。

点表示法 - 生成子空间表示
假定点X1,X2X_1,X_2X1,X2不重合，连接成一条线，令W是这两个点的齐次坐标作为行构成的2x4的矩阵，有下述结论：1）点束L={X=WT(α,β)T∣(α,β)∈R2}L=\{X=W^T(\alpha , \beta )^T|(\alpha , \beta )\in R^2\}L={X=WT(α,β)T∣(α,β)∈R2}是连接两个空间点X1,X2X_1,X_2X1,X2的直线。2）矩阵W的二维右零空间是以L为轴的直线束。
面表示法 - 零空间表示
根据IP3IP^3IP3中点与平面的对偶，同样可以由平面来表示直线：两个平面π1,π2\pi_1,\pi_2π1,π2，定义一个矩阵W=(π1T,π2T)TW=(\pi_1^T,\pi_2^T)^TW=(π1T,π2T)T，同样有以下两个结论：1）απ1+βπ2=WT(α,β)T,(α,β)∈R2\alpha \pi_1 + \beta \pi_2=W^T(\alpha , \beta )^T,(\alpha , \beta )\in R^2απ1+βπ2=WT(α,β)T,(α,β)∈R2。2）W的二维右零空间是直线L构成的点束。
Plucker矩阵表示
连接两点A，B的直线可以用Plucker矩阵表示：
L=ABT−BATL=AB^T - BA^T L=ABT−BAT
这是一个4x4的反对称矩阵，有4个自由度，其二维生成子空间是以该直线为轴的平面束。根据点与直线的对偶，可以得到用平面表示的直线：
L∗=π1π2T−π2π1TL^*=\pi_1 \pi_2^T - \pi_2 \pi_1^T L∗=π1π2T−π2π1T
在plucker矩阵的表示下，有下述结论：
1）点与直线的关系：L∗X=0L^*X=0L∗X=0表示X在直线上，否则L∗X=πL^*X=\piL∗X=π是点与直线确定的平面。
2）面与直线的关系：Lπ=0L\pi=0Lπ=0表示l在平面上，否则Lπ=XL\pi=XLπ=X是直线与平面的交点。

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