数据结构的学习_4.2 矩阵的压缩存储（对称矩阵）

4.2 矩阵的压缩存储（一）

在有些情况下，矩阵中含有许多值相同或者值为零的元素，如果还按前面的方法来存储这种矩阵，就会产生大量的空间浪费。为了节省存储空间，可以对这类矩阵采用压缩存储。

4.2.1 特殊矩阵

所谓特殊矩阵，指的是相同值的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定规律的矩阵。

1.对称矩阵

若n阶方阵A中的元素满足下述性质：
aij=aji(0≤i，j≤n−1)a_{ij}=a_{ji} (0≤i，j≤n-1) aij=aji(0≤i，j≤n−1)
则称A为n阶的对称矩阵。对称矩阵中的元素是关于主对角线对称的，所以只需要存储矩阵上三角或者下三角的元素即可。让两个对称的元素共享一个存储空间。这样，就能够节省近一半的存储空间。

原来数据结构这么厉害，怪不得必须得学。。。

[a00a10a11a20a21a22.........an−10an−11...an−1n−1]\begin{bmatrix} a_{00}&&&&\\ a_{10}&a_{11}\\ a_{20}&a_{21}&a_{22}\\ ...&...&...&\\ a_{n-10}&a_{n-11}&...&a_{n-1n-1}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡a00a10a20...an−10a11a21...an−11a22......an−1n−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤

对称矩阵下三角元素示意图

在以上的下三角矩阵中，第i行（0≤i≤m-1）恰好有i+1个元素，所以元素总数为
∑i=0n−1(i+1)=n(n+1)/2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)=n(n+1)/2 i=0∑n−1(i+1)=n(n+1)/2

刚看到n(n+1)/2这个公式的时候有点熟，好像在哪里见过。百度了下，就是当年1+2+3+…+100=？这个题所使用的公式吗！！100个100+1然后再除以2。。。

这样看就明白了，原谅我还是没把这思维带入到里面。。。

假设以一维数组sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵A的存储结构，那么，矩阵中元素
aija_{ij} aij
和数组元素sa[k]之间存在着一一对应关系。

这个下标ij不好表示到一行中，如果有比较好的工具麻烦跟我说下。

这种对应关系分析如下：

若i≥j时，则a _ {ij}在下三角矩阵中。

a _{ij}之前i行（从0行到第i-1行）一共有1+2+3+...+i=i * (i+1) /2个元素，在第i行上，a _{ij}之前恰好有j个元素。

k=i∗(i+1)/2+j(0≤k<n(n+1)/2)k=i * (i + 1) / 2 + j \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 0≤ k <n (n+1) / 2 ) k=i∗(i+1)/2+j (0≤k<n(n+1)/2)

若i<j时，则a_{ij}在上三角矩阵中。

因为有
aij=ajia_{ij}=a_{ji} aij=aji
所以只要交换i和j即可得到：
k=j∗(j+1)/2+i(0≤k<n(n+1)/2)k=j * (j + 1) / 2 + i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 0≤ k <n (n+1) / 2 ) k=j∗(j+1)/2+i (0≤k<n(n+1)/2)

因此，有：
k={j∗(j+1)2+ii<j，i∗(i+1)2+ji≥j，0≤k<n(n+1)/2k=\begin{cases} \end{cases}^{i*(i+1)2+j\ \ \ \ \ \ i≥j，}_{j*(j+1)2+i\ \ \ \ \ \ i<j，}0≤k<n (n+1) / 2 k={j∗(j+1)2+i i<j，i∗(i+1)2+j i≥j，0≤k<n(n+1)/2

由此，a_{ij}的存储地址可用下面的公式计算：

LOC(aij)=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k∗dLOC(a_{ij})=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k*d LOC(aij)=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k∗d

LOC代表的含义是存储地址，sa[0]是第一个元素，k代表元素个数，d代表一个元素需要d个存储单元

有了上述的计算公式，就能够立即找到矩阵元素a_{ij}在其压缩存储表示sa中的对应位置k。例如，
a32和a23a_{32}和a_{23} a32和a23
都存储在sa[8]中，这是因为
k=i∗(i+1)/2+j=3∗(3+1)/2+2=8k=i*(i+1)/2+j=3*(3+1)/2+2=8 k=i∗(i+1)/2+j=3∗(3+1)/2+2=8

例4.3

已知A和B是两个n * n阶的对称矩阵，因为是对称矩阵，所以仅需要输入下三角元素值存入一维数组。试写一算法，求对称矩阵A和B的乘积。

分析：

如果是两个完整的矩阵相乘，其算法是比较简单的，但由于是对称矩阵，所以要清楚对称矩阵的第i行和第j列的元素数据在一维数组中的位置，其位置计算公式为：
l=i∗(i+1)/2+j当i≥j时（Aij,Bij处于下三角中）;l=i*(i+1)/2 +j \ \ \ \ \ \ 当i≥j时（A_{ij},B_{ij}处于下三角中）; l=i∗(i+1)/2+j 当i≥j时（Aij,Bij处于下三角中）;

l=j∗(j+1)/2+i当i<j时（Aij,Bij处于上三角中）;l=j*(j+1)/2 +i \ \ \ \ \ \ 当i<j时（A_{ij},B_{ij}处于上三角中）; l=j∗(j+1)/2+i 当i<j时（Aij,Bij处于上三角中）;

期中，l代表A_{ij}或B_{ij}在其对称矩阵中的位置，而且0≤l<n(n+1)/2。因此，实现本题功能的算法如下：
```
void matrixmult(int a[] ,int b[] ,int c[][20],int n){//n为A、B矩阵下三角元素个数，a,b分别为一维数组，存放矩阵A和B的下三角元素值//c存放A和B的乘积for(i=0;i<20;i++){for(j=0;j<20;j++){s=0;for(k=0;k<n;k++){if(i>=k){      //表示元素为下三角的元素，计算在a数组中的下标l1=i*(i+1)/2+k;}else {            //表示元素为上三角的元素，计算下标l1=k*(k+1)/2+i;}if(k>=j){       //表示元素为下三角的元素，计算在b数组中的下标l2=k*(k+1)/2+j;}else {l2=j*(j+1)/2+k;}s=s+a[l1]*b[l2];}c[i,j]=s;}}
}
```

这例子是啥呀，看都看不懂。心态炸裂。无能狂怒。n代表一个矩阵下三角元素个数？假设20的对阶，个数是20 * （20 +1）/2=210 一半的话也有100多，这循环？？？？？

不敢否认这书的正确性，毕竟是自考指定教材。敢不敢再写详细点。。。。。

算了，略过这个。考试要是考了当我送给你的。

好气啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。