NOIP 提高组 2012 / 洛谷P1080 国王游戏题解

题面：

略

简易题解：

假设第iii位大臣左手为LiL_{i}Li, 右手的数为R_{i}
并且我们有两位大臣iii，jjj，考虑他们的相对位置

(PPP 是 iii , jjj 之前的左手数值累乘)

某一个时候，假设iii 在 jjj 前一个位置，则此时：
jjj 号大臣能获得的金币为 P×LiRj\frac{P \times L_{i} } {R_{j}}RjP×Li
iii 号大臣能获得的金币为 PRi\frac{P}{R_{i}}RiP
所以这两个的最大值为max(P×LiRj,PRi)max( \frac{P \times L_{i}} {R_{j}}, \frac{P}{R_{i}} )max(RjP×Li,RiP)

iii 与 jjj交换位置，则此时：
iii号大臣能获得的金币为 P×LjRi\frac{P \times L_{j}} {R_{i}}RiP×Lj
jjj号大臣能获得的金币为 PRj\frac{P}{R_{j}}RjP
所以这两个的最大值为max(P×LjRi,PRj)max( \frac{P \times L_{j}} {R_{i}}, \frac{P}{R_{j}} )max(RiP×Lj,RjP)

我们来比较一下这两个的最大值：
倘若第一种情况更优，则：
max(P×LjRi,PRj)>max(P×LiRj,PRi)max( \frac{P \times L_{j}} {R_{i}}, \frac{P}{R_{j}} ) > max( \frac{P \times L_{i}} {R_{j}}, \frac{P}{R_{i}} )max(RiP×Lj,RjP)>max(RjP×Li,RiP)

同时约去PPP，得:
max(LjRi,1Rj)>max(LiRj,1Ri)max( \frac{L_{j}} {R_{i}}, \frac{1}{R_{j}} ) > max( \frac{ L_{i}} {R_{j}}, \frac{1}{R_{i}} )max(RiLj,Rj1)>max(RjLi,Ri1)

由于
1Rj<LiRj\frac{1}{R_{j}} < \frac{ L_{i}} {R_{j}} Rj1<RjLi
且
1Ri<LjRi\frac{1}{R_{i}} < \frac{ L_{j}} {R_{i}} Ri1<RiLj

则我们只需要满足

LiRj<LjRi\frac{L{i}}{R_{j}} < \frac{ L_{j}} {R_{i}} RjLi<RiLj
即

Li×Ri<Lj×RjL_{i} \times R_{i} < L_{j} \times R_{j}Li×Ri<Lj×Rj

也就是说，当L×RL \times RL×R 小的在前面时，总的答案就会更优

然后就是喜闻乐见的高精度了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
template<class T>void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define repd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
const int N=1e4+4;
struct Man{int l,r;bool operator<(const Man &rhs)const{return l*r<rhs.l*rhs.r;}
}m[N];
int a,b,n;
struct Int{int a[10004];//a[0] 表示位数Int operator*(int b)const{Int tmp; tmp.a[0]=0;int t=log(b)/log(10); rep(i,1,t+a[0]+2) tmp.a[i]=0;rep(i,1,a[0]){int tt=a[i]*b;
//          cout<<i<<"---"<<tt<<endl;
int t0=0;while(tt){tmp.a[i+t0]+=tt%10;tt/=10; t0++;}}repd(i,t+a[0]+1,0) if(tmp.a[i]>0){tmp.a[0]=i; break;}return tmp;} Int operator/(int b)const{Int tmp; tmp.a[0]=0;rep(i,1,a[0]) tmp.a[i]=0;if(a[0]==0) return *this;int tt=0,p=0;bool fl=0;repd(i,a[0],1){tt=tt*10+a[i];if(tt>=b){if(!fl) tmp.a[0]=i;fl=1;tmp.a[i]=tt/b;p=tt%b;tt=p;}}return tmp;}bool operator<(Int b)const{if(a[0]<b.a[0]) return true;else if(a[0]>b.a[0]) return false;else repd(i,a[0],1){if(a[i]<b.a[i]) return true;else if(a[i]>b.a[i]) return false;}}
}ans,s;
int main(){g(n);g(m[0].l),g(m[0].r);rep(i,1,n) g(m[i].l), g(m[i].r);sort(m+1,m+1+n);ans.a[1]=1;ans.a[0]=1; s.a[1]=s.a[0]=1;rep(i,1,n){if(ans<s/m[i].r) ans=s/m[i].r,ans.a[0]--;s=s*m[i].l;}repd(i,ans.a[0],1) printf("%d",ans.a[i]);return 0;
}