代数重复度

A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n
不妨假设 λ 1 , … , λ r \lambda_1,\dots,\lambda_r λ1,…,λr为 A A A的相异特征值，其重数分别为 m 1 , … , m r m_1,\dots,m_r m1,…,mr,则称， m i m_i mi为 λ i \lambda_i λi的代数重复度,显然 ∑ i = 1 r m i = n \sum_{i=1}^{r}m_i=n ∑i=1rmi=n

几何重复度

矩阵 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n, λ i \lambda_i λi是 A A A的一个特征值
V λ i = { x ∣ ( λ i I − A ) x = 0 , x ∈ C n } V_{\lambda_i}=\left \{ \left. x\right|(\lambda_iI-A)x=0,x\in C^{n} \right \} Vλi={x∣(λiI−A)x=0,x∈Cn}
则 V λ i V_{\lambda_i} Vλi是 C n C^{n} Cn的一个子空间，称 V λ i V_{\lambda_i} Vλi为矩阵 A A A的属于 λ i \lambda_i λi的特征子空间
d i m ( V λ i ) dim(V_{\lambda_i}) dim(Vλi)为特征值 λ i \lambda_i λi的几何重复度

几何重复度不大于代数重复度

设 λ 0 \lambda_0 λ0为 A A A的一个特征值
( λ 0 I − A ) x = 0 (\lambda_0 I-A)x=0 (λ0I−A)x=0的基础解系为 x 1 , … , x k x_1,\dots,x_k x1,…,xk
由基的扩展定理,可取 x k + 1 , … , x n x_{k+1},\dots,x_n xk+1,…,xn使得
x 1 , … , x n x_1,\dots,x_n x1,…,xn
构成 C n C^{n} Cn的一组基
C = [ x 1 , … , x n ] T C=\begin{bmatrix}x_1,\dots,x_n \end{bmatrix}^T C=[x1,…,xn]T
C − 1 C = [ C − 1 x 1 , … , C − 1 x n ] T = I C^{-1}C=\begin{bmatrix}C^{-1}x_1,\dots,C^{-1}x_n \end{bmatrix}^T=I C−1C=[C−1x1,…,C−1xn]T=I
即
C − 1 x i = e i ( i = 1 , 2 , … , n ) C^{-1}x_i=e_{i}(i=1,2,\dots,n) C−1xi=ei(i=1,2,…,n)
( e i e_i ei表示第 i i i个元素为1，其余元素为0的向量)
C − 1 A C = [ C − 1 A x 1 , … , C − 1 A x n ] T = [ λ 0 C − 1 x 1 , … , λ 0 C − 1 x k , C − 1 A x k + 1 , … , C − 1 A x n ] T = ( λ 0 I k ∗ 0 A 0 ) = B \begin{aligned} C^{-1}AC&=\begin{bmatrix}C^{-1}A x_1,\dots,C^{-1}A x_n \end{bmatrix}^T\\ &=\begin{bmatrix}\lambda_0 C^{-1} x_1,\dots,\lambda_{0}C^{-1}x_k,C^{-1}Ax_{k+1},\dots,C^{-1}A x_n \end{bmatrix}^T\\ &=\begin{pmatrix} \lambda_0 I_{k} & *\\ 0&A_0\\ \end{pmatrix}\\ &=B \end{aligned} C−1AC=[C−1Ax1,…,C−1Axn]T=[λ0C−1x1,…,λ0C−1xk,C−1Axk+1,…,C−1Axn]T=(λ0Ik0∗A0)=B
其中 ∗ * ∗是一个 k × ( n − k ) k\times (n-k) k×(n−k)的矩阵
I k I_k Ik是一个 k k k阶单位矩阵
A 0 A_0 A0是 n − k n-k n−k阶方阵
A ∼ B ⇒ ∣ λ I n − A ∣ = ∣ λ I n − B ∣ = ( λ − λ 0 ) k ∣ λ I n − k − A 0 ∣ A\sim B\Rightarrow \left|\lambda I_n -A\right| =\left|\lambda I_n -B\right| =(\lambda-\lambda_0)^k\left|\lambda I_{n-k} -A_0\right| A∼B⇒∣λIn−A∣=∣λIn−B∣=(λ−λ0)k∣λIn−k−A0∣
可以推出，代数重复度至少为k，而几何重复度恰好为k，所以成立

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