题目来自陈小玉教授的《趣学算法》，参考书中的讲解，结合自己的思考，便于以后复习。

问题

长江俱乐部在长江设置了6个游艇出租站1,2,…6，游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。游艇出租站 i i i到游艇出租站 j j j之间的租金为 r ( i , j ) r(i,j) r(i,j)，现在要求游艇从出租站1到出租站6所需要的最少租金。

r(i,j)：1  2  3  4  5  61 [ 0  2  6  9 15 20]2 [ 0  0  3  5 11 18]3 [ 0  0  0  3  6 12]4 [ 0  0  0  0  5  8]5 [ 0  0  0  0  0  6]6 [ 0  0  0  0  0  0]

思路

暴力搜索

如果使用暴力搜索方法的话，可以依次遍历只停靠1次 C 4 1 C_4^1 C41，停靠2次 C 4 2 C_4^2 C42,停靠3次 C 4 3 C_4^3 C43,停靠4次 C 4 4 C_4^4 C44,一共 C 4 1 + C 4 2 + C 4 3 + C 4 4 C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4 C41+C42+C43+C44种可能，如果中间可停靠码头数目特别多的话（ n n n个），搜索空间会特别大， C n 1 + . . . + C n n C_n^1+...+C_n^n Cn1+...+Cnn。

动态规划

所以考虑是不是可以利用动态规划的思想，将一个大问题化成很多小问题。但是使用动态规划需要一个前提：从第1站到第 n n n站的最优解包含前 n − 1 n-1 n−1站的最优解，是否具有最优子结构和重叠性。

因此可以使用动态规划的思想，该问题得最优解一定由子问题得最优解组成。
算法思路：
初始化 m [ i ] [ j ] = r [ i ] [ j ] m[i][j]=r[i][j] m[i][j]=r[i][j]储存各子问题最低代价，初始化 s [ i ] [ j ] = 0 s[i][j]=0 s[i][j]=0存储各个子问题最低代价的停靠点。
interval表示跨度为interval的两个站点。逐渐增大interval，依次算它们的最小花费，直到最后的终点。

因为相邻两点的代价已经知道，interval=1不需要考虑。

interval=2
中间停靠点只有一个，依次遍历求得1到3，2到4，3到5，4到6的最低代价。
interval=3
依次遍历求得1到4，2到5，3到6的最低代价。中间停靠点有2个，需要依次考虑。例如：1到4，最优的停靠点可能是2或3。
interval=4
依次遍历求得1到5，2到6。中间停靠点有3个，需要依次考虑。因为间隔为2两点的最优解已经算过，直接查表即可。
interval=5
求得1到6的代价，中间停靠点可能有4个，依次遍历，最优值即为最优解。

根据 s [ i ] [ j ] s[i][j] s[i][j]可得到需要停靠哪些点。

python代码实现：

import numpy as np# 1号点到2、3。。。6节点的代价
# 2号点到3。。。6节点的代价
# 。。。
# 5号点到6号节点的代价
r = [[2, 6, 9, 15, 20],[3, 5, 11, 18],[3, 6, 12],[5, 8],[6]
]def leastCost(r):# 一共points个点points = len(r) + 1# 初始化记录代价和停靠点矩阵m = np.zeros((points, points), dtype=np.int16)s = np.zeros((points, points), dtype=np.int16)# 为m矩阵赋初值等于rfor row in range(len(r)):for col in range(len(r[row])):m[row][row+col+1] = r[row][col]print(m)# 遍历不同间隔for interval in range(2, points):# 遍历不同起点for start in range(points - interval):end = start + interval# 遍历两点间不同中间节点for k in range(start, end):if m[start][k] + m[k][end] < m[start][end]:m[start][end] = m[start][k] + m[k][end]s[start][end] = kprint(m)print(s)# 显示途径停靠节点的结果showStopPoint(s, 0, len(r))def showStopPoint(s, start, destination):stopPoint = s[start][destination]if stopPoint != 0:# 递归查看停靠的节点showStopPoint(s, start, stopPoint)print('停靠点：', stopPoint+1)showStopPoint(s, stopPoint, destination)leastCost(r)

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