球体积公式推导（积分）

球的体积

刚刚学了定积分的一点皮毛…来玩一玩
废话不多说，Let’s start

设球的半径为RRR
我们把球（我们通过半球来考虑）切成好多好多（nnn片）薄片，就是一个一个的圆，设圆的半径分别为rrr
面积

S(r)=πr2S(r)=\pi r^2S(r)=πr2

到圆心距离为xxx的圆的半径

f(x)=R2−x2f(x)=\sqrt{R^2-x^2}f(x)=R2−x2

可以得到

V=2∫0RS(f(x))dxV=2\int_{0}^{R}S(f(x))dxV=2∫0RS(f(x))dx

=2∫0RS(R2−x2)dx=2\int_{0}^{R}S(\sqrt{R^2-x^2})dx=2∫0RS(R2−x2)dx

=2∫0Rπ(R2−x2)dx=2\int_{0}^{R}\pi(R^2-x^2)dx=2∫0Rπ(R2−x2)dx

=2π(∫0RR2dx−∫0Rx2dx)=2\pi(\int_{0}^{R}R^2dx-\int_{0}^{R}x^2dx)=2π(∫0RR2dx−∫0Rx2dx)

=2π(R3−∫0Rx2dx)=2\pi(R^3-\int_{0}^{R}x^2dx)=2π(R3−∫0Rx2dx)

下面我们来看以下g(x)g(x)g(x)如何解决

g(x)=∫0Rx2dxg(x)=\int_{0}^{R}x^2dxg(x)=∫0Rx2dx

=lim⁡n→∞∑i=1n(iRn)2×Rn=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}(\frac{iR}{n})^2\times\frac{R}{n}=n→∞limi=1∑n(niR)2×nR

=lim⁡n→∞R3n3∑i=1ni2=\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2=n→∞limn3R3i=1∑ni2

=lim⁡n→∞R3n3×16n(n+1)(2n+1)=\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{n^3}\times\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=n→∞limn3R3×61n(n+1)(2n+1)

=lim⁡n→∞R36×(2+3n+1n2)=\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{6}\times(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=n→∞lim6R3×(2+n3+n21)

=R33=\frac{R^3}{3}=3R3

最后代入VVV，大功告成

V=2π(R3−∫0Rx2dx)V=2\pi(R^3-\int_{0}^{R}x^2dx)V=2π(R3−∫0Rx2dx)

=2π(R3−R33)=2\pi(R^3-\frac{R^3}{3})=2π(R3−3R3)

=43πR3=\frac{4}{3}\pi R^3=34πR3

其实算出了VVV的公式，球的表面积公式就不攻自破了。
只要对VVV求导就好了
为什么呢？因为一个球变大了很小很小的一点点，不就相当于多了一层表面积吗

S=V′=4πR2S=V'=4\pi R^2S=V′=4πR2

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