1. B样条曲面的构建方法

给定以下信息：

m+1m+1m+1行，n+1n+1n+1列的控制点pi,jp_{i,j}pi,j，其中，0<=i<=m0 <= i <= m0<=i<=m，0<=j<=n0 <= j <= n0<=j<=n

uuu方向的节点向量，UUU={ u0,u1,...,uhu_0, u_1, ..., u_hu0,u1,...,uh }

vvv方向的节点向量，VVV={ v0,v1,...,ukv_0, v_1, ..., u_kv0,v1,...,uk }

uuu方向的次数ppp

vvv方向的次数qqq

B样条曲面的定义为：

效果图：

二维B样条基函数:

Clamped， Closed， Open B样条曲面:

如果B样条曲线在两个方向上Clamped，则该曲面通过控制点p0,0，pm,0，p0,n和pm,np_{0,0}，p_{m,0}，p_{0,n}和p_{m,n}p0,0，pm,0，p0,n和pm,n，并在这四个控制点处与控制网的相切.

如果B样条曲线曲面在某个方向上是closed，则该方向上的所有等参曲线都是闭合曲线，该曲面将成为一个管状体.

如果B样条曲面在两个方向上都是open，则该曲面不会通过控制点p0,0，pm,0，p0,n和pm,np_{0,0}，p_{m,0}，p_{0,n}和p_{m,n}p0,0，pm,0，p0,n和pm,n.

Clamped

Closed

Open

2. 性质

非负性：对于所有的p,q,i,jp,q,i,jp,q,i,j，以及0到1范围内的所有u和vu和vu和v，Ni,p(u)，Nj,q(v)N_{i,p}(u)，N_{j,q}(v)Ni,p(u)，Nj,q(v)都是非负的.
对0到1范围内的任意一对u和vu和vu和v，均有：
强凸包性：如果(u,v)在[ui,ui+1)(u,v)在[u_i,u_{i+1})(u,v)在[ui,ui+1)x[vj,vj+1)[v_j,v_{j+1})[vj,vj+1)内，则p(u,v)p(u,v)p(u,v)位于由控制点ph,kp_{h,k}ph,k定义的凸包内，其中，i−p<=h<=ii-p<=h<=ii−p<=h<=i,j−q<=k<=jj-q<=k<=jj−q<=k<=j.
局部修改特性：如果(u,v)不在[ui,ui+1)(u,v)不在[u_i,u_{i+1})(u,v)不在[ui,ui+1)x[vj,vj+1)[v_j,v_{j+1})[vj,vj+1)定义的矩形框内，则Ni,p(u)，Nj,q(v)N_{i,p}(u)，N_{j,q}(v)Ni,p(u)，Nj,q(v)为0.
如果u(resp.,v)u(resp.,v)u(resp.,v)为s(resp.,t)s(resp.,t)s(resp.,t)重节点，则 p(u,v)p(u,v)p(u,v)在u(resp.,v)u(resp.,v)u(resp.,v)方向上Cp−s(resp.,Cp−t)C_{p-s}(resp.,C_{p-t})Cp−s(resp.,Cp−t)连续.
仿射不变性
变差递减性
如果m=p,n=qm=p,n=qm=p,n=q，UUU={0,0,…,0,1,…,1}，则B样条曲面退化成贝塞尔曲面.

3. De Boor’s Algorithm

1.推导计算：

2.过程示意图:
假设vvv在[vd,vd+1)[v_d,v_{d+1})[vd,vd+1)之间，uuu在[uc,uc+1)[u_c,u_{c+1})[uc,uc+1)之间.

3.算法流程：

4.效果图：

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1. B样条曲面的构建方法

2. 性质

3. De Boor’s Algorithm

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