数独高阶技巧之八——SDC
在本系列的第四篇“简单异数链”中,向大家介绍了XY-Wing等一系列Wing类技巧,并提到可以用(拐弯的)数组的观念来理解这些结构,经过第六篇ALS的学习之后,大家回过头再去看Wing,应该可以发现相关的实例都可以用ALS去解释。本篇则要介绍一种与上述结构类似的删除技巧——SDC(Sue de Coq)。
一、基本形态
Sue de Coq这个命名来自于SDC技巧最早发现者的论坛昵称,更正式的名称应该是Two-Sector Disjoint Subsets(双分离子集删除法),我们先来看SDC的两种基本形态。
图1中,B4和R5深色背景4个待解格中存在且仅存在(A、B、C、D)4个候选数,可将这4个候选数分成红(A、B)、绿(C、D)两个分离子集(红∩绿=Ø),将4个待解格按其所在单元分为宫B、行R两个子集,红色(A、B)存在于子集B三格中,绿色(C、D)存在于子集R三格中,两个待解格子集存在交集X(交叠区域两格,X=B∩R),X中的候选数为红、绿两个候选数分离子集的并集,若满足这些条件,红、绿两个子集可各自对所在单元其他格内的候选数进行摈除。
为什么可以这样删数呢?以ALS的视角来看原理很简单,将这四格按所在单元分为宫、行两组ALS(每组都是3格4数),此时:
1、若宫行相交区域的A、B都不成立,则R5深色3格中只能填入C、D两个候选数,违反数独规则,故宫行相交区域的A、B必须成立一个,这样就会与R4C1格构成AB数对,进而对AB数对所在的B4进行摈除;
2、若宫行相交区域的C、D都不成立,则B4深色3格中只能填入A、B两个候选数,违反数独规则,故宫行相交区域的C、D必须成立一个,这样就会与R5C5格构成CD数对,进而对CD数对所在的4进行摈除。
我们还可以用数组的视角来进行分析:在深色4格中,存在且仅存在(A、B、C、D)4个不同的候选数,虽然4格不在同一单元,但他们籍由交叠区域联结,并不影响(ABCD)数组的成立(在N格中存在且仅存在N个不同候选数),亦即(A、B、C、D)4个候选数锁定了这4格,只是由于这个数组拐了弯,分处不同单元,其删数方法也不同于正常的数组。在该数组中,仅存在于特定单元的候选数集只能对所在单元其他格进行摈除。
来看第2种基本形态:
与图1示例不同之处在于,相交区域多出了一个候选数E,相应的格数也增加了一格,深色5格存在且仅存在 A、B、C、D、E 5个候选数,我们仍可将这些候选数分为分处宫、行的两个分离子集(AB)与(CDE)或者(ABE)与(CD),并且,宫和行(列)相交区域的三格为两个分离子集的并集,与上例一样,大家可以分别用数组和ALS的视角来理解删数的逻辑,只是本例中由于候选数E仅位于相交区域内(亦即E同时存在于B4、R5两个单元),所以,E可以对B4和R5两个单元进行摈除。
来看实例:
图3盘势中,B7和R7中R7C137、R8C3四格仅含有(3、4、5、9)4个候选数,蓝色候选数(4、5)构成一个子集,紫色候选数(3、9)构成一个子集,两个分离子集相交于R7C13两格,且这两格为两个子集的并集,这4格形成SDC结构,每个子集可对其所在单元其他格内的候选数进行摈除(红色)。
图4则是基本形态2的一个实例,相交区域多出了候选数4,大家可以根据前面的介绍来理解本例的删数,具体过程不再赘述。
二、扩展形态
在基本形态的基础上,组成SDC的各单元待解格每增加一个新的候选数(不同单元可增加相同的候选数),都须相应在该单元增加一个仅含有SDC中候选数的待解格,SDC待解格中的所有候选数可按其所处单元分为若干个子集,每个单元的候选数子集须存在于其所含元素数+1的待解格中,且不同单元的待解格存在交叠区域(格数≧2),交叠区域内的候选数来自这些子集的并集(交叠区域候选数个数≧交叠区域格数+2),每个子集都可对自身所处单元内其他格中的候选数进行摈除。
图5的例子就是基本形态一的扩展,B6和C8中,绿框5格中仅存在候选数(3、5、7、8、9),这些候选数可分为宫(7、8、9)和列(3、5)两个分离子集,每个子集都存在于其所含元素数+1的待解格中,宫列交叠的两绿框格内的候选数(3、5、7、8)来自宫、列两个子集的并集(3、5、7、8、9),宫中的子集(7、8、9)可对B6其他格中的7、8、9进行摈除,列中的子集(3、5)可对C8其他格中的3、5进行摈除。
图6则是基本形态二的扩展,7格7数,大家可以对照定义自己揣摩一下删数的过程。
图7是基本形态一的扩展,特殊之处在于列和宫的待解格中增加了相同的候选数1,依然可以将其分为C7绿框四格(1、4、9),B9绿框四格(1、2、8)两个子集,这两个子集都是3数4格,交叠区域两格候选数为(2、4、8、9),其元素来自于两个子集的并集,可分别删去C7其他格中的1、4、9,B9其他格中的1、2、8。
图8的实例则是在图9的基础上再次扩展,请仔细体会。
以上都是可以分为两个子集的SDC,两个以上子集的SDC非常难观察,平时做题几乎用不到,就不介绍了。文末附上几个SDC的练习题,大家看看能不能找出来。
作者:零时四分_719b
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