行列式

行列式的概念

记一个n×nn \times nn×n行列式为:

D=∥a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann∥D=\left\| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{matrix} \right\| D=∥∥∥∥∥∥∥∥a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∥∥∥∥∥∥∥∥

计算结果为:

∑(−1)ta1p1a2p2a3p3...anpn\sum (-1)^t a_{1p_1}a_{2p2}a_{3p_3}...a_{np_n}∑(−1)ta1p1a2p2a3p3...anpn

其中t是排列p1,p2...pnp_1,p_2...p_np1,p2...pn的逆序对个数。

也可以记忆一下,二阶行列式是a11a22−a12a21a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}a11a22−a12a21。

行列式的求法

性质1:交换行列式的两行，行列式的值会变成它的相反数。

证明:比如交换第i行和第j行，那么行列式由∑(−1)t1...aipi...ajpj...\sum (-1)^{t_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...∑(−1)t1...aipi...ajpj...变成了∑(−1)t2...ajpj...aipi...\sum (-1)^{t_2}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...∑(−1)t2...ajpj...aipi...，相当于把每一个排列都交换了两个元素，这样这个排列的逆序对数奇偶性一定会改变:

若只看每个数前面比其大的数，如果pi>pjp_i>p_jpi>pj，那么在pjp_jpj前面比其大的数的个数减1，而原来在pjp_jpj前面，现在不在的比pjp_jpj大的数，如果比pip_ipi大,则无影响。否则它们前面失去了一个比它们大的pip_ipi，个数都减1,而pjp_jpj失去了它们，个数也减一，相当于奇偶性不变.pi<pjp_i<p_jpi<pj可以视作考虑每个数后面的比其小的数的个数，也同理。

那么每个t1t_1t1一定和t2t_2t2奇偶性不同。
性质2:某一行乘以一个相同的数，加在另一行上，行列式不变。

证明：相当于变成∑x(−1)ta1p1a2p2a3p3...anpn\sum x(-1)^t a_{1p_1}a_{2p2}a_{3p_3}...a_{np_n}∑x(−1)ta1p1a2p2a3p3...anpn，由于行列式系数为正的项数和为负的相等，所以答案不变。

性质3:

D=∥a1100...0a21a220...0...............an1an2an3...ann∥=∏aiiD=\left\| \begin{matrix} a_{11} & 0 &0 &... & 0 \\ a_{21} & a_{22} &0 &... & 0 \\ ... & ... & ... & ...&... \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &... & a_{nn} \end{matrix} \right\|=\prod a_{ii} D=∥∥∥∥∥∥∥∥a11a21...an10a22...an200...an3............00...ann∥∥∥∥∥∥∥∥=∏aii
性质4：某一行同时乘以一个相同的数,行列式也要乘以那个数。

由上述性质,我们可以得到一种类似于高斯消元的求矩阵行列式的方法(例题:spoj-DETER3):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
int n;LL p,a[205][205];
LL work() {LL re=1;for(int j=1;j<=n;++j) {int id=j; while(id<=n&&!a[id][j]) ++id;if(id>n) return 0;if(id!=j) swap(a[j],a[id]),re=-re;for(int i=j+1;i<=n;++i)while(a[i][j]) {LL t=a[j][j]/a[i][j];for(int k=j;k<=n;++k) a[j][k]=(a[j][k]-a[i][k]*t)%p;swap(a[j],a[i]),re=-re;}re=(re*a[j][j])%p;}return (re%p+p)%p;
}
int main() {while(~scanf("%d%lld",&n,&p)) {for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j) scanf("%lld",&a[i][j]),a[i][j]%=p;printf("%lld\n",work());}return 0;
}

按行(列)展开

余子式：一个行列式去掉它的第i行和第j列得到的行列式称为它的余子式,记做MijM_{ij}Mij

代数余子式：aij=(−1)i+jMija_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}aij=(−1)i+jMij

行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(i=1,2...n)D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} (i=1,2...n)D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(i=1,2...n)

或

D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj(j=1,2...n)D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}(j=1,2...n)D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj(j=1,2...n)

这就是行列式按行(列)展开法则,可以简化行列式计算.

伴随矩阵:第i行j列为矩阵A的aija_{ij}aij的矩阵被称为A的伴随矩阵,记做A∗A^{*}A∗

应用

HDU5852

对于两个棋子的情况，如果路径不相交,则方案数为Cb1−a1+n−1n−1×Cb2−a2+n−1n−1C_{b_1-a_1+n-1}^{n-1} \times C_{b_2-a_2+n-1}^{n-1}Cb1−a1+n−1n−1×Cb2−a2+n−1n−1，如果相交,则可以看其最下面的一个交点，交换该交点后的路径,可以把一个相交的关系看作两条从a1a_1a1到b2b_2b2和从a2a_2a2到b1b_1b1的路径，方案数为Cb2−a1+n−1n−1×Cb1−a2+n−1n−1C_{b_2-a_1+n-1}^{n-1} \times C_{b_1-a_2+n-1}^{n-1}Cb2−a1+n−1n−1×Cb1−a2+n−1n−1。

而多条路径相交的情况，则考虑容斥。那么相当于终点被打乱了，成为一个排列。而奇排列(逆序数为奇数的排列)一定是由一个从1到n的排列经过奇数次元素两两交换得到的(自己证),因此原问题可以转化为一个行列式问题。

此外，交这道题千万不要用C++，请用G++，不然会超时(别问我是怎么知道的)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const LL mod=1000000007;
int n,m,T;LL inv[200005],fac[200005];
int a[105],b[105];LL t[105][105];
LL ksm(LL x,LL y) {LL re=1;for(;y;x=x*x%mod,y>>=1) if(y&1) re=re*x%mod;return re;
}
void init() {fac[0]=inv[0]=1;for(LL i=1;i<=200000;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[200000]=ksm(fac[200000],mod-2);for(int i=200000-1;i>=1;--i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
LL C(LL d,LL u) {if(u>d) return 0;return fac[d]*inv[u]%mod*inv[d-u]%mod;
}
LL work() {LL re=1;for(int j=1;j<=m;++j) {int id=j; while(id<=m&&!t[id][j]) ++id;if(id>m) return 0;if(id!=j) swap(a[id],a[j]),re=-re;LL kl=ksm(t[j][j],mod-2);for(int i=j+1;i<=m;++i)if(t[i][j]) {re=re*kl%mod;//第i行乘t[j][j],相当于将行列式的值扩大了t[j][j]倍for(int k=m;k>=j;--k)t[i][k]=(t[i][k]*t[j][j]%mod-t[j][k]*t[i][j]%mod+mod)%mod;}re=(re*t[j][j])%mod;}return (re%mod+mod)%mod;
}
int main() {init(),scanf("%d",&T);while(T--) {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&b[i]);for(int i=1;i<=m;++i)for(int j=1;j<=m;++j) t[i][j]=C(n-1+b[i]-a[j],n-1);printf("%lld\n",work());}return 0;
}

矩阵相关

矩阵的逆

使得矩阵AA−1=IAA^{-1}=IAA−1=I(I是单位矩阵)的A−1A^{-1}A−1为AAA的逆矩阵,且A−1A=EA^{-1}A=EA−1A=E
A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}A−1=∣A∣1A∗

矩阵的秩

在矩阵中任取kkk行kkk列，这些行列的交点处的元素取出来，不改变它们的相对位置，构成的一个行列式，称为该矩阵的kkk阶余子式。如果一个矩阵A的任一rrr阶子式不为000，而所有r+1r+1r+1阶子式为000，则rrr称为AAA的秩。

矩阵的秩等于阶数最大的非零余子式的阶数。

矩阵的特征值

若对于矩阵AAA，存在一个向量α\alphaα和一个实数λ\lambdaλ使得Aα=λαA\alpha=\lambda \alphaAα=λα则称α\alphaα为AAA的特征向量，λ\lambdaλ为AAA的特征值。

那么根据∣λI−A∣=0|\lambda I-A|=0∣λI−A∣=0可以解方程求出特征值,进而求出特征向量。

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