不定方程

二元一次不定方程

转化为一元线性同余方程

nnn 元一次不定方程

转化为多元线性同余方程

毕达哥拉斯定理

x2+y2=z2x^2+y^2=z^2x2+y2=z2 ，当gcd⁡(x,y,z)=1\gcd(x,y,z)=1gcd(x,y,z)=1 时被称为本原的毕达哥拉斯三元组。

本原的毕达哥拉斯三元组(x,y,z)且y为偶数⇔∃m,n(m>n,m,n互素，不同奇偶),x=m2−n2,y=2mn,z=m2+n2本原的毕达哥拉斯三元组(x,y,z)且y为偶数\Leftrightarrow\exist m,n(m>n,m,n互素，不同奇偶),x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2本原的毕达哥拉斯三元组(x,y,z)且y为偶数⇔∃m,n(m>n,m,n互素，不同奇偶),x=m2−n2,y=2mn,z=m2+n2

费马大定理

xn+yn=zn,n≥3,n∈Nx^n+y^n=z^n,n\geq 3,n\in Nxn+yn=zn,n≥3,n∈N 无非000 整数解

佩尔方程

第一类佩尔方程

形如：x2−dy2=1,d>1x^2-dy^2=1,d>1x2−dy2=1,d>1

ddd 是完全平方数⇒\Rightarrow⇒ 无解

解有迭代公式：
xn=xn−1x1+dyn−1y1yn=xn−1y1+yn−1x1x_{n}=x_{n-1} x_{1}+d y_{n-1} y_{1}\\ y_{n}=x_{n-1} y_{1}+y_{n-1} x_{1} xn=xn−1x1+dyn−1y1yn=xn−1y1+yn−1x1
推导：设特解(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x1,y1),(x2,y2) ，则有x12−dy12=1,x22−dy22=1x_{1}^{2}-d y_{1}^{2}=1,x_{2}^{2}-d y_{2}^{2}=1x12−dy12=1,x22−dy22=1 则(x12−dy12)(x22−dy22)=1\left(x_{1}^{2}-d y_{1}^{2}\right)\left(x_{2}^{2}-d y_{2}^{2}\right)=1(x12−dy12)(x22−dy22)=1
展开，有x12x22−dx12y22−dy12x22+d2y12y22=(x12x22+d2y12y22)−d(x12y22+y12x22)=(x1x2+dy1y2)2−d(x1y2+x2y1)2=1\begin{aligned} &x_{1}^{2} x_{2}^{2}-d x_{1}^{2} y_{2}^{2}-d y_{1}^{2} x_{2}^{2}+d^{2} y_{1}^{2} y_{2}^{2}\\=&(x_{1}^{2} x_{2}^{2}+d^{2} y_{1}^{2} y_{2}^{2})-d(x_{1}^{2} y_{2}^{2}+y_{1}^{2} x_{2}^{2})\\ =&\left(x_{1} x_{2}+d y_{1} y_{2}\right)^{2}-d\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)^{2}\\ =&1 \end{aligned} ===x12x22−dx12y22−dy12x22+d2y12y22(x12x22+d2y12y22)−d(x12y22+y12x22)(x1x2+dy1y2)2−d(x1y2+x2y1)21逐次迭代可得上述迭代公式。

暴力迭代法

从y=1y=1y=1 开始枚举验证，每次+1+1+1 。

矩阵迭代法

第kkk 个迭代解用矩阵表示如下：
[xkyk]=[x1dy1y1x1]k−1[x1y1]\left[\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}x_{1} & d y_{1} \\ y_{1} & x_{1}\end{array}\right]^{k-1}\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right] [xkyk]=[x1y1dy1x1]k−1[x1y1]
求出第一个特解后用矩阵快速幂求得第kkk 个解。

第二类佩尔方程

形如：x2−dy2=k,d>1x^2-dy^2=k,d>1x2−dy2=k,d>1

解有迭代公式：
x=px1+dqy1y=py1+qx1x=p x_{1}+d q y_{1}\\y=p y_{1}+q x_{1} x=px1+dqy1y=py1+qx1
其中(p,q)(p,q)(p,q) 是第二类佩尔方程的一个特解，(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1) 是第一类佩尔方程的最小特解。

推导：根据上述，有p2−dq2=k,x12−dy12=1p^2-dq^2=k,x_{1}^{2}-d y_{1}^{2}=1p2−dq2=k,x12−dy12=1则(x12−dy12)(p2−dy2)=k\left(x_{1}^{2}-d y_{1}^{2}\right)\left(p^{2}-d y^{2}\right)=k(x12−dy12)(p2−dy2)=k 展开，有
x12p2−dx12q2−dy12p2+d2y12q2=(x12p2+d2y12q2)−d(x12q2+y12p2)=(x1p+dy1q)2−d(x1q+py1)2=k\begin{aligned} &x_{1}^{2} p^{2}-d x_{1}^{2} q^{2}-d y_{1}^{2} p^{2}+d^{2} y_{1}^{2} q^{2}\\=&(x_{1}^{2} p^{2}+d^{2} y_{1}^{2} q^{2})-d(x_{1}^{2} q^{2}+y_{1}^{2} p^{2})\\ =&\left(x_{1} p+d y_{1} q\right)^{2}-d\left(x_{1} q+p y_{1}\right)^{2}\\ =&k \end{aligned} ===x12p2−dx12q2−dy12p2+d2y12q2(x12p2+d2y12q2)−d(x12q2+y12p2)(x1p+dy1q)2−d(x1q+py1)2k
逐次迭代可得上述迭代公式。

对于每一组特解(p,q)(p,q)(p,q) ，第kkk 个迭代解用矩阵表示如下：
[xkyk]=[pdqqp]k−1[x1y1]\left[\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}p & d q \\ q& p\end{array}\right]^{k-1}\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right] [xkyk]=[pqdqp]k−1[x1y1]
求出第一个特解后用矩阵快速幂求得第kkk 个解

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