1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1**、T2、……、**Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2树的相关概念

节点的度：个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
概念很多，还是要我们一一了解的！

1.3树得表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

1.4树的实际应用 (表示文件系统的目录树结构,网上查找的图片）

2.二叉树概念及结构

2.1相关概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合:

1.或者为空

2.由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树:

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

关看概念是不好理解的，上图

2.3二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^(h-1)

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2,则有n0 ＝n2 ＋1

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=long(n+1) . (ps：是log以2为底，n+1为对数)

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有 :

1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

了解二叉树的性质后，我们不妨上手几道题

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

答案：B。n0 = n2+1，既n0=199+1 = 200
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈

答案：A。

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

答案：A。总结点数n = n0+n1+n2;又n2 = n0-1,既n=n0+n1+n0-1,在完全二叉树中，n1只有0个或者1个，代入选A

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12

答案：B

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

答案：B。类似于第3题，总结点n = n0+n1+n0-1;n1为0或者1,代入能整除的选B

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

4.二叉树链式结构的实现

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树。

这棵树的代码实现：

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;BTNode* CreatTree()
{BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n1);BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n2);BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n3);BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n4);BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n5);BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n6);n1->data = 1;n2->data = 2;n3->data = 3;n4->data = 4;n5->data = 5;n6->data = 6;n1->left = n2;n1->right = n4;n2->left = n3;n2->right = NULL;n3->left = NULL;n3->right = NULL;n4->left = n5;n4->right = n6;n5->left = NULL;n5->right = NULL;n6->left = NULL;n6->right = NULL;return n1;
}

搭建好框架，我们进行下一步操作

4.1层序遍历

先序、中序、后序遍历递归操作:

//先序
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}//中序
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}//后序
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

我们发现二叉树的层序遍历好像也不难，但是深入理解我们会发现递归调用过程还是蛮复杂的，下面我们来试着理解递归调用展开图。

除了这三种遍历的方式，二叉树还有层序遍历：

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序

那么如何实现层序遍历呢？

我们可以借用一个队列，把结点代入队列，不为空出队列，在把孩子带入队列，在出队列，在把孩子代入，如此往复，直到结点全部出队列，即队列为空层序遍历结束。简单来说：就是上一层结点出的时候带入下一层结点。这里用C语言实现：所以我们首先是要去手写一个队列。

//二叉树
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;//队列（用链表实现，data的类型是BTNode*）
typedef BTNode* QDataType;
typedef struct QueueNode
{struct QueueNode* next;QDataType data;
}QNode;typedef struct Queue
{QNode* head;QNode* tail;
}Queue;void QueueInit(Queue* pq);
void QueueDestroy(Queue* pq);
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);
void QueuePop(Queue* pq);
QDataType QueueFront(Queue* pq);
QDataType QueueBack(Queue* pq);
bool QueueEmpty(Queue* pq);
int QueueSize(Queue* pq);void QueueInit(Queue* pq)
{assert(pq);pq->head = pq->tail = NULL;
}void QueueDestroy(Queue* pq)
{assert(pq);QNode* cur = pq->head;while (cur){QNode* next = cur->next;free(cur);cur = next;}pq->head = pq->tail = NULL;
}void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{assert(pq);QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}newnode->data = x;newnode->next = NULL;if (pq->tail == NULL){pq->head = pq->tail = newnode;}else{pq->tail->next = newnode;pq->tail = newnode;}
}
void QueuePop(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));if (pq->head->next == NULL){free(pq->head);pq->head = pq->tail = NULL;}else{QNode* next = pq->head->next;free(pq->head);pq->head = next;}
}QDataType QueueFront(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->head->data;
}QDataType QueueBack(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->tail->data;
}bool QueueEmpty(Queue* pq)
{assert(pq);return pq->head == NULL;
}int QueueSize(Queue* pq)
{assert(pq);QNode* cur = pq->head;int size = 0;while (cur){++size;cur = cur->next;}return size;
}//层序遍历
void TreeLevelOrder(BTNode*root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ",front->data);//下一层if (front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)QueuePush(&q, front->right);}printf("\n");QueueDestroy(&q);
}

4.2其他操作

节点的个数

// 节点的个数
int TreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 :TreeSize(root->left)  +TreeSize(root->right) + 1;
}

叶子节点的个数


// 叶子节点个数
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL&& root->right == NULL)return 1;return TreeLeafSize(root->left)+ TreeLeafSize(root->right);
}

二叉树的高度

int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int lh = TreeHeight(root->left);int rh = TreeHeight(root->right);return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

第k层节点的个数

// 第K层节点个数
int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;// 转换成求子树第k-1层return TreeKLevel(root->left, k - 1)+ TreeKLevel(root->right, k - 1);
}

返回x所在的节点

// 返回x所在的节点
BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;// 先去左树找BinaryTreeNode*lret = TreeFind(root->left, x);if (lret)return lret;// 左树没有找到，再到右树找BinaryTreeNode*rret = TreeFind(root->right, x);if (rret)return rret;return NULL;
}

二叉树的销毁

void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

通过主函数测试上面的几个函数


int main()
{BTNode* root = CreateTree();PreOrder(root);printf("\n");InOrder(root);printf("\n");printf("Tree size:%d\n", TreeSize(root));printf("Tree size:%d\n", TreeSize(root));printf("Tree size:%d\n", TreeSize(root));printf("Tree Leaf size:%d\n", TreeLeafSize(root));printf("Tree Height:%d\n", TreeHeight(root));printf("Tree K Level:%d\n", TreeKLevel(root, 3));printf("Tree Find:%p\n", TreeFind(root, 8));BTNode* ret = TreeFind(root, 7);ret->data *= 10;PreOrder(root);printf("\n");return 0;
}

4.3判断完全二叉树

我们该怎么去判断是否为完全二叉树呢？这就可以用到我们上面说的层序遍历了：

我们一层一层地走，对于完全二叉树来说，一层一层地走，遇到空以后，后面就不会有非空了（因为完全二叉树是从左到右依次连续的），有非空的话那就不是完全二叉树了。

//判断是否为完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}//遇到空以后，后面全是空——完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){QueueDestory(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;
}

1.树概念及结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念

1.3树得表示

1.4树的实际应用 (表示文件系统的目录树结构,网上查找的图片）

2.二叉树概念及结构

2.1相关概念

2.2特殊的二叉树:

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的存储结构

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

4.二叉树链式结构的实现

4.1层序遍历

4.2其他操作

4.3判断完全二叉树

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