单源最短路径问题（Java）

文章目录

单源最短路径问题（Java）
- 1、问题描述
- 2、算法思路
- 3、代码实现
- 4、算法正确性和计算复杂性
- - 4.1 贪心选择性质
  - 4.2 最优子结构性质
  - 4.3 计算复杂性
- 5、参考资料

1、问题描述

给定带权有向图G=(V,E),其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

其中，V表示顶点集合，E表示各个节点之间的边。

2、算法思路

对于单源最短路径问题，Dijkstra算法是解决这个问题的贪心算法。

基本思想

设置顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S 中仅含有源。设u是G 的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u 的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。

Dijkstra 算法每次从v-s中取出具有最短特殊路长度的顶点u,将u添加到S中，同时对数组dist 进行必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist数组就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

Dijkstra 算法可描述如下。

其中，输入的带权有向图是G = （V, E) , V = {1 , 2, …, n} 。顶点v是源。a是一个二维数组，a[i][j]表示边(i,j)的权。当(i, j) 时，a[i][j]是一个大数。如dist[i]表示当前从源到顶点t的最短特殊路径长度。

3、代码实现

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。

题目示意图

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;/*** TODO  1 --> 4 --> 3 --> 5*/
public class Solution {private static int vNum, eNum;private static int[] v;private static float[][] e;public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);System.out.print("input the number of vertix and edge:");vNum = scanner.nextInt();eNum = scanner.nextInt();v = new int[vNum];e = new float[vNum + 1][vNum + 1];for (int i = 0; i < e.length; i++) {for (int j = 0; j < e.length; j++) {e[i][j] = Float.MAX_VALUE;}}System.out.print("input the vertix information:");for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i] = scanner.nextInt();}System.out.println("input the weight of edges:");for (int i = 0; i < eNum; i++) {int start = scanner.nextInt(), target = scanner.nextInt();e[start][target] = (float) scanner.nextInt();}System.out.print("顶点有：");for (int i = 0; i < v.length; i++) {if (i == v.length - 1) {System.out.println(v[i]);} else {System.out.print(v[i] + ", ");}}System.out.println("边与边之间的距离：");for (int i = 1; i < e.length; i++) {for (int j = 1; j < e.length; j++) {if (i != j && e[i][j] != Float.MAX_VALUE) {System.out.print("[" + i + ", " + j + "] = " + e[i][j] + "; ");}}}System.out.println();int[] path = new int[vNum + 1];float[] dist = new float[vNum + 1];Dijkstra(v[0], e, dist, path);System.out.print("Dijkstra路径为：");List<Integer> list = new ArrayList<>();list.add(vNum);list.add(path[vNum]);while (true) {if (path[list.get(list.size() - 1)] == 1) {list.add(1);break;}list.add(path[list.get(list.size() - 1)]);}for (int j = list.size() - 1; j >= 0; j--) {if (j != 0) {System.out.print(list.get(j) + "-->");} else {System.out.println(list.get(j));}}System.out.println("从顶点1到各顶点最短距离：");for (int i = 1; i < dist.length; i++) {System.out.println("dist[" + i + "] = " + dist[i]);}}public static void Dijkstra(int vertix, float[][] weight, float[] dist, int[] path) {int n = dist.length - 1;if (vertix < 1 || vertix > n + 1) {return;}boolean[] vis = new boolean[n + 2];// initializefor (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = weight[vertix][i];vis[i] = false;if (dist[i] == Float.MAX_VALUE) {path[i] = 0;} else {path[i] = vertix;}}dist[vertix] = 0;vis[vertix] = true;for (int i = 1; i < n; i++) {float tmp = Float.MAX_VALUE;int u = vertix;for (int j = 1; j <= n; j++) {if ((!vis[j]) && (dist[j] < tmp)) {u = j;tmp = dist[j];}}vis[u] = true;for (int j = 1; j <= n; j++) {if ((!vis[j]) && (weight[u][j] < Float.MAX_VALUE)) {float newDist = dist[u] + weight[u][j];if (newDist < dist[j]) {dist[j] = newDist;path[j] = u;}}}}}
}

运行结果

Dijkstra算法的迭代过程：

图解过程

4、算法正确性和计算复杂性

4.1 贪心选择性质

（1）根据算法可知，最短距离是最小的路长，故
dist[x]<= d(v,x)

（2）假设存在另外一条更短路红色线所示，故
d(v,x)+d(x,u)=d(v,u)<dist[u]

（3）由（1）（2）可知，dist[x]<dist[u]。此为矛盾，因为如果（3）成立，此时应该选择 x进入S集合，即选择具有最短特殊路径的顶点是x，而不是u。（因为根据最短路径算法，总是选取最短路径的顶点进入S）

4.2 最优子结构性质

该性质描述为：如果S(i,j)={Vi…Vk…Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么S(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设S(i,j)={Vi…Vk…Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有S(i,j)=S(i,k)+S(k,s)+S(s,j)。而S(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径S’(k,s)，那么S’(i,j)=S(i,k)+S’(k,s)+S(s,j)<S(i,j)。则与S(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

4.3 计算复杂性

对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要O(n) 时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要
0(n²）时间。算法的其余部分所需要时间不超过0(n²）。

5、参考资料

算法设计与分析（第四版）