Torrance–Sparrow BRDF Model公式推导

法线分布函数的理解

ωh方向的微分面积可以这样表示：

$dA(\omega _h) = D(\omega _h)d\omega _h dA$

解释：D(ω)理解成ω方向的面积密度，那么单位面积下，dωh立体角在单位面积下对应的面积是A(ωh)，此时D(ωh) = A(ωh)/dω，A(ωh)的数值可以看成单位面积的比例。

那么在微分面积dA下，ωh方向的面积就是 $D(\omega _h)d\omega _h dA$ 了。

也可以用概率的思想理解：

那么有：

$dA(\omega _h) = P(A(\omega_h))dA = D(\omega _h)d\omega _h dA$

Torrance–Sparrow Model

在微表面下，反射模型是perfectly specular，所以微表面法线h符合下面公式：

$\omega _h = \widehat{\omega _o + \omega _i}$

为了后面推导，把ωh，n，ωo和ωi的关系用下图来表示清楚：

由于法线分布函数符合下面公式：

$\int _{H}D(\omega _h)(n \cdot h)d\omega _h = 1$

求ωh方向的flux $d\Phi _h$

$d\Phi _h = dE_hdA(\omega _h) = L_i(\omega _i)d\omega _i\cos\theta _h dA(\omega _h)$

把 $dA(\omega _h) = D(\omega _h)d\omega _h dA$ 代入上式中得到：

$d\Phi _h = L_i(\omega _i)d\omega _i\cos\theta _h D(\omega _h)d\omega _h dA$

根据Fresnel's law，ωo的flux是：

$d\Phi _o = F(\omega _o, \omega_h)d\Phi _h$

由radiance的公式可得：

$L(\omega _o) = \frac{d\Phi _o}{d\omega _o\cos\theta _o dA}$

把 $d\Phi _o$ 代入上式分子：

$L(\omega _o) = \frac{F(\omega _o, \omega_h)d\Phi _h}{d\omega _o\cos\theta _o dA} = \frac{F(\omega _o, \omega_h) L_i(\omega _i)d\omega _i\cos\theta _h D(\omega _h)d\omega _h dA}{d\omega _o\cos\theta _o dA}$

有一个很重要的推导结论：推导参考https://blog.csdn.net/air_liang1212/article/details/106215259

$d\omega _h = \frac{d\omega _o}{4\cos\theta _h}$

最后L(ωo)写成：

$L(\omega _o) = \frac{F(\omega _o, \omega_h) L_i(\omega _i)d\omega _i\cos\theta _h D(\omega _h)d\omega _h dA}{d\omega _o\cos\theta _o dA} \\=\frac{F(\omega _o, \omega_h) L_i(\omega _i)d\omega _i\cos\theta _h D(\omega _h)d\omega _o }{d\omega _o4\cos\theta _h\cos\theta _o} \\=\frac{L_i(\omega _i)F(\omega _o, \omega_h) D(\omega _h) d\omega _i }{4\cos\theta _o}$

根据双向函数fr的定义：

$f_r(\omega _o, \omega _i) = \frac{dL_o}{dE_i} = \frac{L_o(\omega _o)}{L_i(\omega _i)\cos\theta _id\omega _i}$

代入后得到：

参考：pbrbook 8.4