半连续性：上半连续与下半连续

上半连续与下半连续的定义跟我想象中的不一样，并不是左连续与右连续。查了查维基百科，终于弄明白了。

半连续性的最清晰解释可以用不等式结合图像理解，

上半连续：
lim⁡x→x‾0sup⁡f(x)≤f(x0)\lim_{x\rightarrow \overline{x}_0} \sup f(x)\leq f(x_0) x→x0limsupf(x)≤f(x0)

上半连续图形：

下半连续：

lim⁡x→x‾0inf⁡f(x)≥f(x0)\lim_{x\rightarrow \overline{x}_0} \inf f(x)\geq f(x_0) x→x0liminff(x)≥f(x0)

在上面两个图形上：上半连续等价于右连续，而下半连续等价于左连续。但其实上下半连续与左右半连续并不等价，举一个反例：

这个图形的函数为：

f(x)={0x≥01x<0f(x)= \begin{cases} 0\quad &x\geq 0\\ 1 & x<0 \end{cases} f(x)={01x≥0x<0

它是右连续的，但它并不是上半连续，而是下半连续。

上面图形的 python 代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Apr 10 11:38:04 2022@author: zhen chen
@Email: chen.zhen5526@gmail.comMIT Licence.Python version: 3.8Description: """
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npax = plt.gca()
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
# Create 'x' and 'y' labels placed at the end of the axes
ax.set_xlabel('x', size=14, labelpad=-24, x=1.03)
ax.set_ylabel('y', size=14, labelpad=-21, y=1.02, rotation=0)
# Draw arrows
arrow_fmt = dict(markersize=4, color='black', clip_on=False)
ax.plot((1), (0), marker='>', transform=ax.get_yaxis_transform(), **arrow_fmt)
ax.plot((0), (1), marker='^', transform=ax.get_xaxis_transform(), **arrow_fmt)x1 = np.arange(0, 3, 0.1)
y1 = np.zeros((30))
plt.plot(x1, y1)
x2 = np.arange(-3, 0, 0.1)
y2 = np.ones((30))
plt.plot(x2, y2)
plt.scatter(0, 1, marker = 'o', c = '', edgecolor = 'r', s = 50)
plt.xticks(np.arange(-3, 3, 1))
plt.yticks(np.arange(-1, 3))
plt.show()

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