UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度

测度与概率
概率的连续性

对于概率空间(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)，Ω\OmegaΩ是非空集合，表示状态空间；F\mathcal{F}F是事件空间，也是状态空间的一个σ\sigmaσ-代数；PPP是概率测度。我们已经严格定义了前两个要素，这一讲我们介绍概率测度。

测度与概率

测度PPP是一个自变量为集合的函数，它把集合映射成一个数值。对于可测空间(Ω,F)(\Omega,\mathcal{F})(Ω,F)，如果P:F→R+P:\mathcal{F} \to \mathbb{R}^+P:F→R+是一个测度，则

P(ϕ)=0P(\phi)=0P(ϕ)=0
∀A∈F,P(A)≥0\forall A \in \mathcal{F},P(A) \ge 0∀A∈F,P(A)≥0
∀Ai∈F,i=1,⋯,n\forall A_i \in \mathcal{F},i=1,\cdots,n∀Ai∈F,i=1,⋯,n, P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)

如果∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An∈F,n=1,2,⋯，P(⨆n=1∞An)=∑n=1∞P(An)P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} A_n)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)P(⨆n=1∞An)=∑n=1∞P(An)，称PPP具有可列可加性，或称PPP为σ\sigmaσ-可加测度。

如果P(Ω)<∞P(\Omega)<\inftyP(Ω)<∞，称PPP为有限测度；如果∃An,n=1,2,⋯\exists A_n,n=1,2,\cdots∃An,n=1,2,⋯，Ω=∑n=1∞An\Omega=\sum_{n=1}^{\infty} A_nΩ=∑n=1∞An，且P(An)<∞,∀nP(A_n)<\infty,\forall nP(An)<∞,∀n，则称PPP为σ\sigmaσ-有限测度。显然有限测度一定是σ\sigmaσ-有限测度，反之不成立。

如果P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1，且PPP是σ\sigmaσ-可加测度，称PPP为概率测度，或简称概率。

概率的连续性

假设PPP是F\mathcal{F}F上的σ\sigmaσ-可加函数，P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1，下面四个条件等价：

PPP是概率；
PPP上连续；
PPP下连续；
PPP在"0"上连续；

我们先介绍一下集函数的连续性，然后再证明它们的等价性。类比实变函数的连续性，f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续，等价于∀xn→x0\forall x_n \to x_0∀xn→x0，lim⁡nf(xn)→f(x0)=f(lim⁡nxn)\lim_n f(x_n)\to f(x_0)=f(\lim_n x_n)limnf(xn)→f(x0)=f(limnxn)。上连续意味着∀xn→x0\forall x_n \to x_0∀xn→x0应该改为∀xn↑x0\forall x_n \uparrow x_0∀xn↑x0；下连续就改为∀xn↓x0\forall x_n \downarrow x_0∀xn↓x0，也就是说半连续性会限制逼近的方向。

上连续 ∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An∈F,n=1,2,⋯，An⊂An+1A_n \subset A_{n+1}An⊂An+1，如果P(⋃n=1∞An)=lim⁡nP(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)P(⋃n=1∞An)=limnP(An)，称PPP是上连续的。这个定义中需要注意的是，因为An⊂An+1A_n \subset A_{n+1}An⊂An+1，所以⋃n=1∞An=lim⁡nAn\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_n A_n⋃n=1∞An=limnAn。

下连续 ∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An∈F,n=1,2,⋯，An⊃An+1A_n \supset A_{n+1}An⊃An+1，如果P(⋂n=1∞An)=lim⁡nP(An)P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)P(⋂n=1∞An)=limnP(An)，称PPP是下连续的。

在0处连续 也就是在ϕ\phiϕ处连续，∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An∈F,n=1,2,⋯，An⊃An+1A_n \supset A_{n+1}An⊃An+1，⋂n=1∞An=ϕ\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\phi⋂n=1∞An=ϕ，如果P(⋂n=1∞An)=lim⁡nP(An)P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)P(⋂n=1∞An)=limnP(An)，称PPP在ϕ\phiϕ处连续。

证明
1→21 \to 21→2，记A0=ϕA_0=\phiA0=ϕ，直接计算
P(⋃n=1∞An)=P(⨆n=1∞(An∖An−1))=∑n=1∞P(An∖An−1)=∑n=1∞[P(An)−P(An−1)]=P(A∞)−P(A0)=lim⁡n→∞P(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} (A_n\setminus A_{n-1}) ) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n\setminus A_{n-1})\\ =\sum_{n=1}^{\infty} [P(A_n)-P(A_{n-1})] =P( A_{\infty})-P(A_0) = \lim_{n\to \infty} P(A_n)P(n=1⋃∞An)=P(n=1⨆∞(An∖An−1))=n=1∑∞P(An∖An−1)=n=1∑∞[P(An)−P(An−1)]=P(A∞)−P(A0)=n→∞limP(An)
2→32 \to 32→3，因为An↓A_n \downarrowAn↓，所以A1∖An↑A_1\setminus A_n \uparrowA1∖An↑，同时
⋃n=1∞A1∖An=⋃n=1∞A1∩AnC=A1∩⋃n=1∞AnC=A1∩(⋂n=1∞An)C=A1∖⋂n=1∞An\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\setminus A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\cap A_n^C = A_1 \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^C = A_1 \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right)^C = A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_nn=1⋃∞A1∖An=n=1⋃∞A1∩AnC=A1∩n=1⋃∞AnC=A1∩(n=1⋂∞An)C=A1∖n=1⋂∞An

根据2，
lim⁡n→∞P(A1∖An)=P(⋃n=1∞(A1∖An))\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n))n→∞limP(A1∖An)=P(n=1⋃∞(A1∖An))

基于An=A1∖(A1∖An)A_n=A_1 \setminus (A_1\setminus A_n)An=A1∖(A1∖An)，
P(An)=P(A1)−P(A1∖An)lim⁡n→∞P(An)=P(A1)−lim⁡n→∞P(A1∖An)=P(A1)−P(⋃n=1∞(A1∖An))=P(A1)−P(A1∖⋂n=1∞An)=P(⋂n=1∞An)P(A_n)=P(A_1)-P(A_1 \setminus A_n) \\ \lim_{n \to \infty}P(A_n)=P(A_1)-\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(A_1) - P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n)) \\ = P(A_1) - P(A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n ) = P(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n)P(An)=P(A1)−P(A1∖An)n→∞limP(An)=P(A1)−n→∞limP(A1∖An)=P(A1)−P(n=1⋃∞(A1∖An))=P(A1)−P(A1∖n=1⋂∞An)=P(n=1⋂∞An)
3→43 \to 43→4，非常显然。

4→14 \to 14→1，只需验证σ\sigmaσ可加性即可。考虑
⨆i=1∞Ai=⨆i=1nAi+⨆i=n+1∞Ai\bigsqcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigsqcup_{i=1}^{n} A_i+ \bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_ii=1⨆∞Ai=i=1⨆nAi+i=n+1⨆∞Ai

注意到⨆i=n+1∞Ai↓ϕ\bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i \downarrow \phi⨆i=n+1∞Ai↓ϕ，根据4，lim⁡n→∞P(⨆i=n+1∞Ai)=0\lim_{n \to \infty}P(\bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i)=0limn→∞P(⨆i=n+1∞Ai)=0。根据有限可加性，
P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^{n} A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(i=1⨆nAi)=i=1∑nP(Ai)

因此
P(⨆i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^{\infty} A_i )=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)P(i=1⨆∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)

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