常数1的傅里叶变换详解过程

昨日好友突然问我一个关于信号相关的问题—— 常数 111（或者说时域信号 x（t）=1x（t）= 1x（t）=1）用傅里叶变换后在频域中的表示为δ(t)\delta(t)δ(t) 中的 2π2\pi2π 从何而来（如下）。问题不难，这是一个关于信号与系统中的最基础的问题，但是这个问题在网络上面都没有正确且详细的证明。

δ(t)⟷1\delta(t) \longleftrightarrow 1δ(t)⟷1
1⟷2πδ(ω)1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega)1⟷2πδ(ω)

首先来看一下傅里叶变换的正反两个公式
X(ω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdtX(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}tX(ω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt
x(t)=12π∫−∞+∞X(ω)ejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {X(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omegax(t)=2π1∫−∞+∞X(ω)ejωtdω

将δ(t)\delta(t)δ(t) 带入正变换公式，
X(ω)=∫−∞+∞δ(t)e−jωtdt=1X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\delta(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t=1X(ω)=∫−∞+∞δ(t)e−jωtdt=1
由delta函数的特性可以得到δ(t)\delta(t)δ(t)只有在t=0t=0t=0的时候才有取值，故令t=0t=0t=0,可得傅里叶变换结果为1.

再看其反变换

x(t)=12π∫−∞+∞ejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omegax(t)=2π1∫−∞+∞ejωtdω
该式子并不能直接求解并不能完全像以前一样进行微分、积分运算（为广义积分）。（由于正负无穷的上下限）
又因为同样的原因，从时域上的1到频域进行傅里叶变换也不行但是从频域的delta函数到时域却行得通。

不妨用字母W来表示∞\infty∞,这个也把时域的（信号的函数）图像具象化为了总长度为2W，中点在原点的矩形，当W趋于无穷时，图像为一条平行于时间轴的直线，
x(t)=12π∫−WWejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omegax(t)=2π1∫−WWejωtdω
x(t)=12π∫−WWejωtdω=sinWtπtx(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega=\frac{sinWt}{\pi t}x(t)=2π1∫−WWejωtdω=πtsinWt
这个函数（被称为抽样函数）好像我们仍然不能解答，那就回到delta函数的原始定义中去
δ(t)=lim⁡k→+∞kπSa(kt)=lim⁡k→+∞sin(kt)πt\delta(t)=\lim_{k \to +\infty} \frac{k}{\pi}Sa(kt)=\lim_{k \to +\infty} \frac{sin(kt)}{\pi t} δ(t)=k→+∞limπkSa(kt)=k→+∞limπtsin(kt)
当k=W，结果恰好为预期的δ(t)\delta(t)δ(t) 。
同理，从时域上的常量信号1傅里叶变换到频域也会遇到类似问题，用一样的方法解决。

除了这样直接求解还可以用傅里叶变换的对称性对
1⟷2πδ(ω)1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega)1⟷2πδ(ω)
进行正向的求解
若已知
f(t)⟷F(ω)f(t) \longleftrightarrow F (\omega)f(t)⟷F(ω)
则
F（t）⟷2πf(−ω)F（t） \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega)F（t）⟷2πf(−ω)
证明如下，
已知
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdtF(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}tF(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt
f(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdωf(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omegaf(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω
f(−t)=12π∫−∞+∞F(ω)e−jωtdωf(-t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}\omegaf(−t)=2π1∫−∞+∞F(ω)e−jωtdω
将 t 和ω\omegaω变量互换
f(−ω)=12π∫−∞+∞F(t)e−jωtdtf(-\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(t) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}tf(−ω)=2π1∫−∞+∞F(t)e−jωtdt
所以
F（t）⟷2πf(−ω)F（t） \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega)F（t）⟷2πf(−ω)
对于delta函数的具体运算就省略吧，代入就能解决。

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