【量化笔记】时间序列--ARCH模型及GARCH模型

本文内容

ARCH模型
- ARCH模型的建模过程
GARCH模型

金融数据的时间序列，有以下几个普遍现象

一组时间序列本身可能只有非常微弱的自相关性，而这组时间序列的函数（比如平方，绝对值等）呈现很强的自相关性
有些资产收益率序列的条件方差会随着时间发生改变，也就是呈现条件异方差性。
资产收益率序列的波动会有持续的现象，大波动跟着大波动，小波动跟着小波动，也就是波动聚集现象。
许多资产收益率序列不服从正态分布，期极端之较多，具有厚尾现象。

ARCH模型

ARCH模型认为模型的序列值波动与其过去p期的波动有关。模型表达式为：
ϵt=σtutσt2=α0+α1ϵt−12+...+αpϵt−p2\epsilon_t=\sigma_t u_t \\\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+...+\alpha_p\epsilon_{t-p}^2ϵt=σtutσt2=α0+α1ϵt−12+...+αpϵt−p2

ARCH模型的建模过程

设定一个适合的阶数p，在检验得知时间序列确实存在ARCH效应的条件下，我们可以用ϵt2\epsilon^2_tϵt2的偏自相关函数（PACF）来确定p。
我们假设utu_tut服从以下三种分布中的一种来进行估计：标准正态分布，标准化的学生t分布和广义误差分布。然后用最大似然法对参数进行估计。
对参数进行检验，标准化残差ut^=ϵt^σt^{\hat{u_t}=\frac{\hat{\epsilon_t}}{\hat{\sigma_t}}}ut^=σt^ϵt^是独立同分布的随机过程。因此ut^\hat{u_t}ut^和u^t2\hat{u}_t^2u^t2的Ljung-Box统计量可以分别用来检验均值方差和波动率方程的正确性。

GARCH模型

GARCH模型认为时间序列每个时间点的波动率是最近p个时间点残差平方的线性组合，与最近q个时间点变量波动率的线性组合加起来得到，模型表达式为：
ϵt=σtutσt2=α0+∑i=1pαiϵt−i2+∑j=1qβjσt−j2\epsilon_t=\sigma_t u_t \\\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^p \alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^q \beta_j\sigma_{t-j}^2ϵt=σtutσt2=α0+∑i=1pαiϵt−i2+∑j=1qβjσt−j2

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