之前我们讨论过AR模型和ARMA模型，这两个模型是对时间序列数据的拟合与预测，此外时间序列模型对波动性的应用也较为广泛。(如:股票波动)。

ARIMA(这是我写的):链接

一、波动率的特征

存在波动率聚集现象，也就是说，波动率在一段时间内都比较高，在另一段时间内都比较低。
波动率是随着时间连续变化的。(一般来说波动率与时间的曲线f(x)是连续的)
波动率不会发散到无穷。
波动率对价格大幅上升和大幅下降的反应不同。这种现象称为杠杆效应。

二、建立模型

建立ARCH模型需要四个步骤:

通过检验数据的序列相关性，建立一个均值模型，如果有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型来消除任何的线性依赖。
对均值的残差进行ARCH效应检验
如果ARCH效应在统计上是显著的则指定一个波动率模型，并对均值方程和波动率方程进行联合估计。
仔细地检验所拟合的模型，如有必要则对其进行改进。

三、波动率模型框架

对波动率进行建模的时候，我们需要同时考虑收益率的条件均值和条件方差。给定t-1时刻已知的信息集 $F_{t-1}$ , $r_{t}$ 的条件均值和条件方差为:

$u_{t} = E(\frac{r_{t}}{F_{t-1}})$

$\sigma _{t}^{2} = var(\frac{r_{t}}{F_{t-1}})$

我们假设 $r_{t}$ 服从一个简单的时间序列模型，得到的平稳ARMA(p,q)模型如下：

$r_{t} = u_{t}+a_{t}$

$\sigma _{t}^{2} = var(\frac{r_{t}}{F_{t-1}})$

其实这些不重要。

四、ARCH模型

ARCH采用自回归形式来刻画方差的变异。

我描述能力很差，这种就不耽误大家时间了，直接看大佬的描述，通俗易懂。

参考：小火君totora的博客ARCH模型是什么？

五、GARCH模型

如果说ARCH模型对应着AR模型，那么GARCH模型对应的就是ARMA模型。GARCH模型是ARCH模型的推广形式。

参考:无情小超超的博客时间序列--GARCH模型。

六、代码(我用的是测试的代码，自己的数据做的就不放了)

1.先导入相关的库，并获取数据，这里的这个例子求出我们要分析的收益率3


import pandas as pdimport tushare as ts
#获取股票数据进行测试的
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as pltimport arch#实验品626,计算收益率，这里先留着，问一下是否需要求收益率。
df = ts.get_k_data('399300',index=True,start='2015-01-01',end='2015-12-31')
df = df.set_index('date')
df['rtn'] = np.log(df['close']) - np.log(df['close'].shift(1))
df = df.dropna()

2.ADF检验一下收益率是否平稳

rtn = df.rtn.values
t = sm.tsa.stattools.adfuller(df.rtn)#这就是adf检验结果
print("p-value是",t[1])
#这里p-value是0.00011588814525635444，小于0.05故收益序列是平稳的

3.我们假设该序列的均值方程是AR(p)模型,我们先求P

fig = plt.figure(figsize=(10,5))
ax1 = fig.add_subplot(111)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(rtn,lags=25,ax=ax1)

得到结果是:

从图可以看出p = 2

4.生成均值方程AR(2)模型

statsmodels,这个库里我没找到ARMA的函数，原本的例子是ARMA，现在改一下，改成ARIMA。

mean_model = sm.tsa.ARIMA(rtn,order = (3,0,0)).fit()
at = rtn - mean_model.fittedvalues
at2 = np.square(at)
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.subplot(211)
plt.plot(at,label = 'at')
plt.legend()
plt.subplot(212)
plt.plot(at2,label='at^2')
plt.legend(loc = 0)

绘图结果:

5.检验是否具有相关性


#检验相关性
m1 = 10
acf1,q1,p1 = sm.tsa.acf(at2,nlags=m1,qstat=True)
out1 = np.c_[range(1,m1+1),acf1[1:],q1,p1]
output1 = pd.DataFrame(out1,columns=['lag','AC','Q','P-value'])
output1 = output1.set_index('lag')

结果:从下图中可以看出p-value小于0.05，所以认为序列具有相关性，即具有ARCH效应。

6.判定ARCH模型的阶次


fig = plt.figure(figsize=(10,5))
ax1 = fig.add_subplot(111)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(at2,lags=30,ax=ax1)

结果:不难看出可以将阶次定为2阶，所以动率模型为ARCH(2)模型。

7.拟合ARCH模型

am = arch.arch_model(rtn,mean='AR',lags=2,vol='ARCH',p=2)
res = am.fit()

res.summary()#看结果

结果:

8.GARCH模型的构造

gam = arch.arch_model(rtn,mean='AR',lags=2,vol='GARCH')
gres = gam.fit()

gres.summary()#看结果

结果:

甚至可以画个图:

gres.plot()

结果:

七、作者参考资料:

赵志强，刘志伟的 <<Python量化投资:技术、模型与策略>>

上面推荐的一些博主的文章，我都是草草看过一遍，如果讲的不好请通知。谢谢。博客慢慢写，不急，如果时间序列数据分析的有关文章多起来的话，会整合成一个系列看看。

八、完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Jan  7 13:36:23 2022@author: 13056
"""import pandas as pdimport tushare as ts
#获取股票数据进行测试的
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as pltimport arch#实验品626,计算收益率，这里先留着，问一下是否需要求收益率。
df = ts.get_k_data('399300',index=True,start='2015-01-01',end='2015-12-31')
df = df.set_index('date')
df['rtn'] = np.log(df['close']) - np.log(df['close'].shift(1))
df = df.dropna()rtn = df.rtn.values
t = sm.tsa.stattools.adfuller(df.rtn)#这就是adf检验结果
print("p-value是",t[1])
#这里p-value是0.00011588814525635444，小于0.05故收益序列是平稳的
fig = plt.figure(figsize=(10,5))
ax1 = fig.add_subplot(111)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(rtn,lags=25,ax=ax1)mean_model = sm.tsa.ARIMA(rtn,order = (3,0,0)).fit()
at = rtn - mean_model.fittedvalues
at2 = np.square(at)
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.subplot(211)
plt.plot(at,label = 'at')
plt.legend()
plt.subplot(212)
plt.plot(at2,label='at^2')
plt.legend(loc = 0)#检验相关性
m1 = 10
acf1,q1,p1 = sm.tsa.acf(at2,nlags=m1,qstat=True)
out1 = np.c_[range(1,m1+1),acf1[1:],q1,p1]
output1 = pd.DataFrame(out1,columns=['lag','AC','Q','P-value'])
output1 = output1.set_index('lag')fig = plt.figure(figsize=(10,5))
ax1 = fig.add_subplot(111)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(at2,lags=30,ax=ax1)am = arch.arch_model(rtn,mean='AR',lags=2,vol='ARCH',p=2)
res = am.fit()
gam = arch.arch_model(rtn,mean='AR',lags=2,vol='GARCH')
gres = gam.fit()
gres.plot()

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