如何判断一个数是否是质数（C语言）-超详细

质数是只能被1或者自身整除的自然数（不包括1），称为质数。

判断是否是质数最直观和简单的方法就是从2开始直接除，能除尽（余数为0）就不是质数。则C语言实现为：

int isprime(int m)

{

int i;

for(i=2;i<m;i++)

if(m%i==0）

return 0;

else

return 1;

}

该算法的时间复杂度O(n)。

可以改进一下，根据如果一个数是合数，那么它的最小质因数肯定小于等于它的平方根。用反证法可以证明一下。假设x是n的最小质因数，则存在n/x=p。p>x,x*p=n。如果x不小于等于它的平方根，则x*x>n,而p>x，故x*p>n,假设不成立。合数是与质数相对应的自然数。一个大于1的自然数如果它不是合数，则它是质数。也就是说如果一个数能被它的最小质因数整除的话，那它肯定是合数，即不是质数。所以判断一个数是否是质数，只需判断它是否能被小于它开跟号后的所有数整除，因此，这样做的运算少了很多，降低了时间复杂度。C语言实现

int isprime(int m)

{

int i;

for(i=2;i<=sqrt(m);i++) /*sqrt(int n)这个函数需要引入math.h头文件*/

if(m%i==0）

return 0;

else

return 1;

}

时间复杂度O(根号n)

上面两种方法是最常见的。如果要判断一个范围内的数是否是质数，则需要多次调用isprime()函数，时间复杂度变为增加O(n*m)或O(n*跟号m).这时，可以采用另一种称为“埃拉托色尼(Eratosthenes)筛法”的方法。埃拉托色尼是古希腊的著名数学家。他采取的方法是，在一张纸上写上1到100全部整数，然后逐个判断它们是否是素数，找出一个非素数，就把它挖掉，最后剩下的就是素数。具体做法如下：

<1> 先将1挖掉(因为1不是素数)。
<2> 用2去除它后面的各个数，把能被2整除的数挖掉，即把2的倍数挖掉。
<3> 用3去除它后面的各数，把3的倍数挖掉。
<4> 分别用4、5…各数作为除数去除这些数以后的各数。这个过程一直进行到在除数后面的数已全被挖掉为止。

如上算法可表示为：
<1> 挖去1;
<2> 用刚才被挖去的数的下一个数p去除p后面各数，把p的倍数挖掉;
<3> 检查p是否小于n^2的整数部分（如果n=1000, 则检查p<31?），如果是，则返回(2)继续执行，否则就结束;
<4> 纸上剩下的数就是素数。

这是个典型的用空间换时间的算法。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main() {

int i,j,n;
int num = 100; /*1-100之内的质数,如果求1-10000之间的质数，则num=10000*/
int a[101]; /*数组多定义一个元素是为了让下标和数一一对应，因为数组下标是从0开始的*/
for(int i=0; i<=101; i++) {
a[i] = i;
} /*初始化数组*/
a[1] = 0; /*1不是质数*/
for (i=2; i<sqrt(num); i++) {
for (j=i+1; j<=num; j++) {
if (a[j]!=0 && a[j]%i==0) { /*如果是质数了，则不需要再判断*/
a[j] = 0; /*a[j]不是质数，故a[j]=0*/
}
}
} / *依次判断是不是2的倍数，3的倍数，4的倍数。。。。。。。。*/

for(i=1,n=0; i<=100; i++) {
if (a[i] != 0) {
printf("%d\t", a[i]);
if(++n%10 == 0) {
printf("\n");
}
}
} /*输出a[i]不为0的数（即质数)*/
printf("\n");
return 0;
}

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