[BZOJ3503]-[CQOI2014]和谐矩阵-高斯消元

说在前面

蓝书第一章有道例题和这个题有相似之处，me在做这道题的时候思路就被带过去了=A=
然而终究是没有想出正解…最后用找规律+暴力水了75分=w=

题目

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题面

我们称一个由0和1组成的矩阵是和谐的，当且仅当每个元素都有偶数个相邻的1。一个元素相邻的元素包括它本
身，及他上下左右的4个元素（如果存在）。
给定矩阵的行数和列数，请计算并输出一个和谐的矩阵。注意：所有元素为0的矩阵是不允许的。

输入输出格式

输入格式：
输入一行，包含两个空格分隔的整数N和M，分别表示矩阵的行数和列数。

输出格式：
输出包含N行，每行M个空格分隔整数（0或1），为所求矩阵。测试数据保证有解。

解法

手动模拟几组小数据，可以发现一个性质，一旦一个矩阵的第一行被确定，这个矩阵就确定下来了。
先写出第一行，第二行需要满足第一行，第三行需要满足第二行….最后第N行满足第N-1行，并且第N行还需要自我满足。暴力也就是这个做法，枚举第一行，check最后一行，时间复杂度是Θ(2M∗M∗N)\Theta(2^M*M*N)的，比直接暴搜要快很多

当然肯定不能满足于此，需要寻找一个通性通法来优化上面的思路。
如果把第一行的元素写成x1,x2,⋯,xMx_1,x_2,\cdots, x_M，那么第二行的元素就应该是 (x1⊕x2),(x1⊕x2⊕x3),⋯,(xM−1⊕xM)(x_1 \oplus x_2),(x_1\oplus x_2\oplus x_3),\cdots ,(x_{M-1}\oplus x_M)以此类推，一直推到第N+1行。因为第N+1行本来是不存在的，在异或意义下相当于0，那么就可以列出M个方程，从而解得第一行元素的值，整个矩阵也就确定了

为了防止解出全0的情况，可以把方程中的自由元全部都设为1（题目保证了有解）
时间复杂度Θ(N∗M2+M3)\Theta(N*M^2+M^3)

下面是自带大常数的代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;int M , N , mx[45][45][45] , a[45][45] , ans[45][45] ;void Gauss(){for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ ){if( !a[i][i] ){for( int j = i ; j <= M ; j ++ )if( a[j][i] ){for( int k = 1 ; k <= M ; k ++ )swap( a[j][k] , a[i][k] ) ;break ;}}if( a[i][i] == 0 ){a[i][i] = a[i][M+1] = 1 ;continue ;}for( int j = i + 1 ; j <= M ; j ++ ){if( !a[j][i] ) continue ;for( int k = i ; k <= M ; k ++ )a[j][k] = ( a[j][k] - a[i][k] + 2 )&1 ;}}for( int i = M ; i ; i -- ){ans[1][i] = a[i][M+1] ;for( int j = i - 1 ; j >= 1 ; j -- )if( a[j][i] ) a[j][M+1] = ( a[j][M+1] - a[i][M+1] + 2 )&1 ;}
}void fill_mx(){for( int i = 2 ; i <= N ; i ++ )for( int j = 1 ; j <= M ; j ++ ){int las = ans[i-1][j] + ans[i-1][j-1] + ans[i-1][j+1] + ans[i-2][j] ;ans[i][j] = ( las&1 ) ;}
}void print(){for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ){for( int j = 1 ; j <= M ; j ++ )printf( "%d " , ans[i][j] ) ;puts("") ;}
}void solve(){for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )mx[1][i][i] = 1 ;for( int i = 2 ; i <= N+1 ; i ++ )for( int j = 1 ; j <= M ; j ++ )for( int k = 1 ; k <= M ; k ++ ){mx[i][j][k] += mx[i-1][j-1][k] + mx[i-1][j][k] + mx[i-1][j+1][k] + mx[i-2][j][k] ;mx[i][j][k] &= 1 ;}for( int j = 1 ; j <= M ; j ++ )for( int k = 1 ; k <= M ; k ++ ){a[j][k] = mx[N+1][j][k] ;a[j][k] &= 1 ;}Gauss() ;fill_mx() ;print() ;
}int main(){scanf( "%d%d" , &N , &M ) ;solve() ;
}