漫谈历法、闰年与闰月

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今年闰年，今天闰日，并且又赶上周末，写一篇与技术不太相关的小文章吧。

回归阳历与闰年

由于地球的地轴与公转轨道平面不垂直（即存在黄赤交角），因此在公转的过程中，地球上的太阳直射点会周期性移动，即北半球夏至时阳光直射北回归线，北半球冬至时阳光直射南回归线，而春分、秋分时直射赤道，如下图所示。

A~D即北半球春分、夏至、秋分、冬至

根据太阳直射点周期性移动制定的历法称为回归阳历（tropical solar calendar），一个周期的长度就称为1回归年（tropical year）。在2000年时测定的1回归年长度为365天5小时48分45.19秒——即约365.2421897天。

回归阳历的代表就是格里历（Gregorian calendar），即我们平时所说的“公历”、“公元”。它由教皇额我略十三世（Gregory XIII）于1582年颁行，并首先在意大利、西班牙等地使用，进而影响到全世界，1912年被中国采用。

格里历（以及绝大多数回归阳历）的平年有365天，比回归年少了1/4天不到。为了弥补人为历法与实际回归年之间的时间差，格里历的制订者规定每4年修正一次，即在大多数4的倍数年的2月加上一天——即2月29日，称为闰日（leap day），对应的那一年就是闰年（leap year）。

为什么是“大多数”4的倍数年，而不是“全部”？很显然，如果以4个世纪为区间，所有4的倍数年都加上一天的话，那么这400年又会累积出大约3天的误差。为了把这多出来的3天抹平，格里历又规定在整世纪年中，只有400的倍数年为闰年（如1600、2000），其他的都是平年（如1700、1800、1900）。

所以，格里历中正确判断闰年的方法如下。

boolean isLeap(int year) {return (year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || year % 400 == 0;
}

可以计算得知，格里历的年平均长度为365 + 1/4 − 1/100 + 1/400 = 365.2425天，与回归年的标准长度相当接近，每约3300年才会又差出1天。至于这个误差如何修正，就留给后人去解决吧。

下面这张图表又示出了1800~2200年这四个世纪的时间中，由于闰年和闰日的影响，北半球夏至实际日期在公历6月20、21、22日区间内的波动。

公历的闰年bug

闰年bug总体上讲没有千年虫那么严重，但是也会造成困扰。比如2012年时，微软的Azure服务因为闰年bug导致整体下线（详情请见这里），而于此同时，谷歌的Gmail聊天历史中也因为闰年bug将所有2月29日的记录标成了1969年12月31日。直到今天，Excel仍然会错误地认为1900年是个闰年（输入1900年2月29日，会被Excel认为是合法的），这个问题很久远了，详情可以参见这里。

在程序设计语言中做基于年的运算，也会出现小型的闰年bug，例如C#：

DateTime dt = DateTime.Now;
DateTime result = new DateTime(dt.Year + 1, dt.Month, dt.Day);

在今天执行这条语句，会直接抛出ArgumentOutOfRangeException，因为2021年是平年，没有2月29日。

又例如JS：

var dt = new Date();
dt.setFullYear(dt.getFullYear() + 1);

dt的值会变成2021年3月1日，因为JS检测到2021年2月29日不存在，就会自动置入下一个有效的日期。但是，如果以正常的一年365天计，结果应该是2021年2月28日才正确。

恒星阳历

与回归阳历相对的阳历历法是恒星阳历（sidereal solar calendar），顾名思义，它是以太阳、地球与某一恒星的相对位置来确定的历法。从地球上看，太阳从黄道上与某恒星共线的位置出发，再次回到与该恒星共线的位置的周期即为1恒星年（sidereal year）。1恒星年也就是地球实际上的公转周期，计365天6小时9分9.76秒——即约365.256363004天。

采用恒星阳历的历法不多，主要分布在南亚次大陆，如印度历。由于相同的误差原因，恒星阳历也会有闰年，不再多讲。

阴阳历与闰月

阴阳历（lunisolar calendar）是另一种主流的历法。阴阳历中的一年以地球公转周期——即回归年或恒星年来定义，但是月份和日期以月球公转周期——即朔望月来定义。阴阳历法在东亚地区有很悠久的历史，最具代表性的就是中国农历，日本、韩国、越南等国现今也仍然采用中国农历与其变种。

需要注意，虽然民间经常将农历叫做“阴历”，但严格来讲它是阴阳历。真正的“阴历”是不考虑地球公转周期的，如伊斯兰历，就不赘述了。

中国农历的“阳”，体现在二十四节气。古人根据太阳的视运动与自然气象的变化，将太阳沿黄经每运行15度所经历的时日称为一个节气，以指导农业生产。太阳运行360度为1回归年，正好是24个节气。所以二十四节气恰好能平分给公历的12个月份，并且日期也比较固定，上半年在6日、21日左右，下半年在8日、23日左右，正如《新华字典》附录的节气歌所述：

春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连。
秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。
每月两节不变更，最多相差一两天。
上半年来六廿一，下半年是八廿三。

中国农历的“阴”，则体现在以月相定义月份。具体来说，是以月球合朔（即月亮阴面朝向地球）发生的那一天为该月的初一日，月圆（即“望”）的那一天则是十五日。月球两次合朔经过的周期就是朔望月，即农历的一个月。

由于摄动的因素，朔望月的长度大约在29.27至29.83天之间变动，而长时期的平均长度大约为29.530588天（29天12小时44分2.8秒）。所以农历中会有大小月之分，大月30日，小月29日，严格按照天文观测来确定——这点与公历不同，公历每个月的天数完全是人为规定的。

一个农历年的平年由12个月组成，即大约29.5 * 12 = 354日，但一个回归年大约是365又1/4日，差了大约11天。这个误差是比较大的，积累十几年就会出现月份与季节气候完全对不上的情况，所以古人才发明了“闰月”，以协调回归年与农历年。

那么什么时候需要插入闰月呢？决定闰月的算法称为“无中置闰法”，早在《太初历》（公元前104年）就已经有了。《后汉书·律历下》有言：

...故置十二中以定月位。有朔而无中者为闰月。中之始曰节，与中为二十四气。

该算法确立了一个大前提，即农历年起于冬至，终于冬至（所以冬至也是一个重要的节日），这样就把回归年和农历年的长度统一起来了。

接下来，检查一年中两个冬至之间有几个朔望月。如果有12个，说明是正常的，不需要加闰月。如果有13个，那么就从农历二月到十月间，将第一个没有“中气”的月定为闰月，这个月跟在哪个正常的月份后面就是闰几月。所谓中气，其实就是指太阳运行到30度角倍数的12个节气，即雨水、春分、谷雨、小满、夏至、大暑、处暑、秋分、霜降、小雪、冬至、大寒。

为什么会有月份没有中气？因为地球的轨道并不是圆的，而是近似椭圆，所以在远日点附近（北半球夏季左右）公转较慢，导致两个中气之间的间隔（平均约30.43日，最长可达31.45日）被拉长，长于朔望月的长度，所以会有月份恰好卡在了两个中气之间。举个例子，2001年5月21日（四月二十九）是小满节气，下一个朔望月的区间是5月23日到6月20日，但下一个中气——即夏至——却是6月21日。所以这个朔望月没有中气，从5月23日起即为闰四月初一，直到6月20日为闰四月廿九，从6月21日才算五月。

The End

从没写过这样的东西，有点意思。

民那晚安。