数据结构

思维导图

绪论

基本概念

  • 数据

    • 信息的载体

  • 数据元素

    • 数据的基本单位

  • 数据项

    • 是构成数据元素的不可分割最小单位。学生记录是一个数据元素，由学号姓名这些数据项共同组成

  • 数据对象

    具有相同性质的数据元素的集合，是数据的子集

  • 数据类型

    • 数据类型是一个值的集合和定义在集合上的一组操作的总称。

    • 原子类型

      • 值不可分的数据类型

    • 结构类型

      • 可分的

    • 抽象结构类型

      • 抽象数据组织及与之相关的操作

数据结构三要素

  • 算法的设计取决于所选的逻辑结构，而算法的实现依赖于所选的存储结构

  • 逻辑结构

    • 数据元素之间的关系，分为线性结构和非线性结构

    • 线性结构

      • 线性表，栈，队列等

    • 非线性结构

      • 树、图、集合等

    • 集合（无关系）、线性结构（一对一）、树形结构（一对多）、图状结构或网状结构（多对多）

  • 存储结构

    • 顺序存储

      • 可以随机存取，只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多的外部碎片。

    • 链式存储、

      • 只能顺序存储。不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元，指针要占用额外空间

    • 索引存储

      • 检索速度快，附加的索引表额外占用存储空间。增加和删除数据时也要修改索引表，会消耗不少时间

    • 散列存储

      • 也叫哈希存儲。根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，
      • 其优点是检索、增加和删除结点的操作都很快：
      • 缺点是若散列函数不好，则可能出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

  • 数据的运算

    运算的定义针对逻辑结构，运算的实现针对逻辑结构

复杂度分析

算法概念与特性

  • 有穷性、确定性、可行性 、输入、输出

好的算法满足

  • 正确性、可读性、健壮性、效率与低存储量需求

总结：

  • 逻辑结构：栈，线性表，队列
  • 顺序表，单链表，邻接表，单双链表，循环链表。
    还有一些名词：顺序存储，链式存储，索引存储，散列存储（哈希存储）。

线性表

顺序存储

  • 顺序表

链式存储

  • 单链表、双链表、循环链表、静态链表

总结几个判空

  • 没有头结点的链表判空 head==null
  • 有头结点的链表判空 head->next == null
  • 循环单链表的判空： L->next =L
  • 循环双链表的判空: L-next == L && L->prior==L

栈和队列

操作受限

  • 栈

    • 基本概念

      • 栈的数学性质

        • 出栈元素的不同排列个数为
          (n个数的排列为A!,计算完排列之后别忘了取出不合适的)

      • 基本操作

    • 顺序栈

      • 操作

        • S.top。S.top=-1

          • 进栈

            • 栈未满的情况下：S.data[++S.top]=x;

          • 出栈

            • 栈不空的情况下：x=S.data[S.top–];

          • 判空

            • S.top==-1

          • 栈满

            • S.top==MaxSize-1

          • 栈长

            • S.top+1

        • S.top=0时，即top指向栈顶元素的下一位置。则入栈操作变成S.data[S.top++]=x,出栈为x=S.data[–S.top]

      • 区分top指向的是当前栈顶元素还是下一元素

    • 链栈

    • 共享栈

      • 初始指针

        • top0=-1，top1=Maxsize

      • 栈满

        • top1-top0=1

      • 进栈操作

        • 0号栈先加一再赋值，一号栈先赋值再加一

      • 出栈

        • 相反

      • 特点

        • 更好的利用存储空间，避免上溢

  • 队列

    • 基本概念

      • 队首出（删除），队尾入队（增加）

      • 判空

        • Q.frontQ.rear0
        • 子主题 2

      • 判满

        • 无法判断，继而引出循环队列

    • 循环队列

      • 三种区分队空与队满方法

        • 牺牲一个元素

          • 队满

            • (Q.rear+1)%MaxSize ==Q.front

          • 队空

            • Q.front==Q.rear

          • 元素个数

            • （Q. rear-Q. front+MaxSize）% Maxsize

        • 增设表示元素个数

        • 增设tag数据成员

        • P79页循环队列出入队示意图

    • 链式队列

    • 双端队列

      • 输出受限的双端队列
      • 输入受限的双端队列

推广

  • 数组

    • 一维数组

    • 多维数组

      • 压缩矩阵

        • 对称矩阵

        • 上下三角矩阵

          • 存储元素个数比对称矩阵多一

        • 三对角矩阵

          • 特点

            • ｜i-j｜>1

        • 按行优先和按列优先

      • 稀疏矩阵

        • 可采用三元组存储

栈和队列的应用

  • 栈

    • 栈的括号匹配

      • 从左到右扫描，最后栈为空才算成功匹配

    • 前中后缀表达式

      • 后缀表达式：考虑算法的优先级，没有括号 ，遇到运算符，依次弹出栈中优先级高于或等于的运算符。
      • 中缀转前缀：从右往左扫描下一元素。（先出栈的是左操作数）
      • 后缀表达式转为中缀表达式
      • 表达式之间的互相转换
      • 后缀表达式的求值
      • 习题解析王道P98页

    • 栈的递归

      • 在于能发将原始问题转换为属性相同但规模交较小的问题。

      • 递归调用过程：

        • 在递归调用的过程中，系统为每一层的返回点、局部变量、传入实参等开辟了递归工作栈来进行数据存储，递归次数过多容易造成栈溢出等。而其效率不高的原因是递归调用过程中包含很多重复的计算。

  • 队列

    • 队列的层次遍历

      • 层次遍历二叉树过程
      • 图的广度优先搜索（使用队列）

    • 队列在计算机系统中的应用

树与二叉树

树

  • 递归的数据结构，也是一种逻辑结构

  • 定义

    • 两个特点：前驱后继结点个数

  • 术语

    • 祖先，双亲，子孙，孩子，兄弟结点

    • 结点的度，树的度

      • 树的度：树中结点的最大度数

    • 分支结点，叶子结点

      • 分支结点又称为非终端结点，其度大于0

    • 结点的层次，结点的深度，结点的高度，树的高度。

      • 结点的层次：从树根开始
      • 结点的深度：从根结点开始自顶向下逐层累加
      • 结点的高度：从叶结点开始自底向上逐层累加
      • 树的高度：树中结点最大层数

    • 有序树，无序树

      • 有序树，结点位置不能互换

    • 路径，路径长度

      • 路径是，两个结点之间所经过的结点序列。而路径长度是路径上经过的边的个数

  • 树的性质

    • 树中的结点数等于所有结点数+1
    • 度为m的数中第i层至多有
    • 总结计算：由n=分支数+1，即n=1+n1+2n2+3n3+4*n4=n0+n1+n2+n3+n4

二叉树

  • 概念

    二叉树是有序树

    • 二叉树和度为2度有序树区别

      度为2度有序树，结点至少三个，而二叉树可以为空
      二叉树的次序是绝对的，不能颠倒

    • 特殊二叉树

      • 满二叉树

        • 满

      • 完全二叉树

        • 左孩子

      • 二叉排序树

        • 相比根结点左小右大

      • 平衡二叉树

        • 左右子树的深度相差均不超过1

    • 二叉树的性质

      • 非空二叉树n0=n2+1

    • 二叉树的存储

      • 顺序存储

        • 适合满二叉树和完全二叉树
        • 存储时建议数组下标从1开始
      • 链式存储
        • 左右指针和数据域
        • 在n哥结点的二叉链表中，含有n+1个指针域

    • 总结：

      • 计算完全二叉树的结点个数，根据叶子结点进行计算。需要注意，最多最少的情况下，可能是倒数第二层最右边的代表叶子结点，也可能是最后一层代表。
      • 完全二叉树，根据结点个数和叶子结点个数求最多，需要考虑最后一层为奇数还是偶数，偶数的一半为消耗上层叶子结点个数，奇数要+1
      • 考虑极端情况下，结点个数
      • 根据树的那几个性质进行推算，注意奇偶数目

  • 操作

    • 三种遍历

      • 先序遍历

        • 前缀表达式

      • 后序遍历

        • 中缀表达式（需要加界限符）

      • 中序遍历

        • 后缀表达式

      • 时间复杂度，空间复杂度都为O(n)

    • 线索二叉树

      • 引入线索二叉树的目的
      • 规定
      • 构造过程

    • 二叉树的计算题

      • 空指针的个数

      • 中序+后序推导

      • 中序+前序推导

      • 层序+中序推导

        • 王道第五章 08

  • 应用

    • 排序二叉树

      • 平衡二叉树

    • 哈夫曼树

树，森林