无限循环小数四则运算_无限循环小数不能进行四则运算

【摘　要】无限循环小数进行四则运算时会发生错误，本文给出了详细证明。

【关键词】无限循环小数；四则运算；0.111…；0.999…

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算，是小学数学的重要内容。

在现代数学中，无限循环小数被列入有理数。如 0.111…、0.333…、0.999… 等都是有理数。

有理数的四则运算是小学生必须掌握的基本技能。

现在有一个问题：0.111…×10 = ？

全世界的小学生都会毫不犹豫地给出答案：1.111…。

然而，这个结果是错误的。

这是怎么回事呢？

原来，无限循环小数是一种特殊的数，它的运算涉及无穷大(∞)。在涉及无穷的时候，四则运算就失效了。

下面用一个实例，证明无限循环小数不满足四则运算规则。

设 n 是无限循环小数 0.111… 中“1”的个数，很容易写出下列恒等式：

当 n = 1 时，10 × 0.1 = 1 + 0.1 ﹣ 0.1

当 n = 2 时，10 × 0.11 = 1 + 0.11 ﹣ 0.01

当 n = 3 时，10 × 0.111 = 1 + 0.111 ﹣ 0.001

当 n = 4 时，10 × 0.1111 = 1 + 0.1111 ﹣ 0.0001

当 n = 5 时，10 × 0.11111 = 1 + 0.11111 ﹣ 0.00001

……

当 n = ∞ 时，10 × 0.111… = 1 + 0.111… ﹣

由于

，所以

10 × 0.111… ≠ 1 + 0.111…

10 × 0.111… ≠ 1.111…

同样的道理，还可以得到

10 × 0.333… ≠ 3.333…

10 × 0.999… ≠ 9.999…

10 × 2.777… ≠ 27.777…

以上各式说明，无限循环小数不满足简单的乘法规则。无限循环小数乘以 10 时，把小数点向后移一位将得到错误的答案。

这么简单的算术问题，竟然有错，你敢相信吗？

乘法的本质是加法，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，四者相互关联。无限循环小数不满足乘法法则，相当于不满足四则运算规则。

这个问题意义重大，涉及小学数学基础知识，不仅与全世界十几亿小学生密切有关，也与我们每个人有关。

数学家们如何面对？让我们拭目以待。

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