刚体运动

一个物体，运动过后除位置与姿态外的自身条件不会变，变换后与变换前相差一个旋转和平移。

旋转矩阵

向量的内积：a⋅b=aTb=∑13aibi=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩{a} \cdot b=a^Tb=\sum_{1}^{3} a_ib_i=|a||b|cos\langle a,b \ranglea⋅b=aTb=∑13aibi=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩
内积可以描述向量间的投影。

向量的外积：a×b=∥e1e2e3a1a2a3b1b2b3∥=[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1]=[0−a3a2a30−a1−a2a10]b=defa∧ba\times b=\begin{Vmatrix} e_1&e_2 &e_3 \\a_1&a_2 & a_3\\b_1&b_2 &b_3\end{Vmatrix}=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& -a_3 &a_2 \\a_3&0 &-a_1 \\-a_2&a_1 &0\end{bmatrix}b \overset{def}{=}a^\wedge ba×b=∥∥∥∥∥∥e1a1b1e2a2b2e3a3b3∥∥∥∥∥∥=⎣⎡a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎦⎤=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤b=defa∧b

外积描述实际上就是∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩|a||b|sin\lang a,b \rang∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩，是两个向量张开的四边形的面积。
a∧a^\wedgea∧表示aaa的反对称矩阵
a∧=[0−a3a2a30−a1−a2a10]a^\wedge=\begin{bmatrix}0& -a_3 &a_2 \\a_3&0 &-a_1 \\-a_2&a_1 &0\end{bmatrix} a∧=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤

任意向量aaa都有唯一一个反对称矩阵，且a∧+a∧T=0a^\wedge+a^{\wedge T}=0a∧+a∧T=0。

设有一单位正交基 (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)(e1,e2,e3)内有一向量坐标为[a1,a2,a3]T[a_1,a_2,a_3]^T[a1,a2,a3]T
另一单位正交基下 (e1′,e2′,e3′)(e_1{'},e_2{'},e_3')(e1′,e2′,e3′)下，该向量坐标为[a1′,a2′,a3′]T[a_1',a_2',a_3']^T[a1′,a2′,a3′]T

由于向量还是那一个，只是在不同坐标系下的表示不一样，所以有
[e1e2e3][a1a2a3]=[e1′e2′e3′][a1′a2′a3′]\begin{bmatrix} e_1&e_2 &e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\a_2\\a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e_1'&e_2' &e_3'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 '\\a_2'\\a_3'\end{bmatrix}[e1e2e3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤=[e1′e2′e3′]⎣⎡a1′a2′a3′⎦⎤

两边同时左乘 [e1Te2Te3T]\begin{bmatrix}e_1 ^T\\e_2^T\\e_3^T\end{bmatrix}⎣⎡e1Te2Te3T⎦⎤，左侧变为单位矩阵
[a1a2a3]=[e1Te1′e1Te2′e1Te3′e2Te1′e2Te2′e2Te3′e3Te1′e3Te2′e3Te3′][a1′a2′a3′]=defRa′\begin{bmatrix}a_1 \\a_2\\a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e_1 ^Te_1'&e_1^Te_2'&e_1^Te_3'\\e_2^Te_1'&e_2^Te_2'&e_2^Te_3'\\e_3^Te_1'&e_3^Te_2'&e_3^Te_3'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 '\\a_2'\\a_3'\end{bmatrix}\overset{def}{=}Ra'⎣⎡a1a2a3⎦⎤=⎣⎡e1Te1′e2Te1′e3Te1′e1Te2′e2Te2′e3Te2′e1Te3′e2Te3′e3Te3′⎦⎤⎣⎡a1′a2′a3′⎦⎤=defRa′

其中RRR称为旋转矩阵，可以看出RRR是两组基之间的内积

旋转矩阵性质

正交阵 RRT=IRR^T=IRRT=I 、RT=R−1R^T=R^{-1}RT=R−1
行列式为1，反之行列式为1的正交阵叫旋转矩阵
若 RRR 为从 AAA 坐标系到 BBB坐标系的旋转矩阵，则 R−1R^{-1}R−1 表示从 BBB 坐标系到 AAA 坐标系的旋转矩阵。

变换矩阵

欧式变换中，除了旋转还有平移，表示为：
a1=R12a2+t12a_1=R_{12}a_2+t_{12}a1=R12a2+t12
其中R12R_{12}R12 表示从2到1坐标系的旋转矩阵，t12t_{12}t12 所对应的是坐标系1原点指向坐标系2原点的向量并且是在坐标系1下取的坐标。

反过来 R21R_{21}R21 表示从1到2坐标系的旋转矩阵， t21t_{21}t21 对应的是坐标系2原点指向坐标系1原点的向量并且是在坐标系2下取的坐标。

b=R1a+t1c=R2b+t2b=R_1a+t_1\\ c=R_2b+t_2b=R1a+t1c=R2b+t2
所以a到c可以写成
c=R2(R1a+t1)+t2c=R_2(R_1a+t_1)+t_2c=R2(R1a+t1)+t2

该写法若是跨越多个坐标系进行变换写法会很麻烦，所以对 a′=Ra+ta'=Ra+ta′=Ra+t 改写为
[a′1]=[Rt0T1][a1]=defT[a1]\begin{bmatrix}a' \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&t\\0^T&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}\overset{def}{=}T\begin{bmatrix}a \\1\end{bmatrix}[a′1]=[R0Tt1][a1]=defT[a1]
令a~\tilde{a}a~表示aaa的齐次坐标，则
b~=T1a~,c~=T2b~c~=T2T1a~\tilde{b}=T_1\tilde{a},\tilde{c}=T_2\tilde{b}\\\tilde{c}=T_2T_1\tilde{a}b~=T1a~,c~=T2b~c~=T2T1a~

一个变换矩阵左上为旋转矩阵，右上为平移向量，左下为0向量，右下为1;它的逆表示一个相反的变换。
T=[Rt0T1]T−1=[RT−RTt0T1]T=\begin{bmatrix}R&t \\0^T&1\end{bmatrix}\\T^{-1}=\begin{bmatrix}R^T&-R^Tt \\0^T&1\end{bmatrix}T=[R0Tt1]T−1=[RT0T−RTt1]

旋转向量

任意旋转都可用一个旋转轴和一个旋转角来表示，令一个向量方向等于旋转轴，长度等于旋转角，这种向量称为旋转向量。

已知一个旋转的旋转轴向量nnn和角度θ\thetaθ,可以通过罗德里格斯公式表换到旋转矩阵。
R=cos⁡θI+(1−cos⁡θ)nnT+sin⁡θtr(n∧)R=\cos\theta I+(1-\cos \theta)nn^T+\sin \theta tr(n^\wedge)R=cosθI+(1−cosθ)nnT+sinθtr(n∧)

反过来，已知旋转矩阵求旋转角和轴
θ=arccos⁡tr(R)−12\theta =\arccos \frac{tr(R)-1}{2}θ=arccos2tr(R)−1
因为有Rn=nRn=nRn=n，表示旋转轴上的向量绕轴旋转后不变，则转轴nnn是矩阵RRR特征值1所对应的特征向量归一化后的结果。

欧拉角

任何的旋转都可分解成分别绕三个轴旋转后的结果，定义“偏航-俯仰-滚转（yaw-pitch-roll）”分别对应ZYXZYXZYX轴的旋转。

绕ZZZ轴旋转，得到偏航角yaw
绕旋转之后的YYY轴旋转，得到俯仰角pitch
绕旋转之后的XXX轴旋转，得到滚转角roll

可以用[r,p,y]T[r,p,y]^T[r,p,y]T三为向量描述任意旋转；当俯仰角为±90°\pm90°±90°时会丢失一个自由度——万向锁问题。

二维用的多，因为比较直观，三维的话用的不多，但是可以转换成欧拉角拍错用。

四元数

用三个量表示一个三维旋转注定会有奇异性问题，类似于万向锁。引入四元数，即可以比旋转矩阵紧凑，又可消除奇异性，就是比较抽象，运算复杂。
一个四元数长这样：
q=q0+q1i+q2j+q3kq=q_0+q_1i+q_2j+q_3kq=q0+q1i+q2j+q3k
也写成：q=[s,v]Tq=[s,v]^Tq=[s,v]T;sss是实部，vvv是虚部
前头是实部，后面跟着三个虚部
三个轴之间满足：
{i2=j2=k2=−1ij=k,ji=−kjk=i,kj=−iki=j,ik=−j\left\{\begin{matrix}i^2=j^2=k^2=-1\\ij=k,ji=-k\\jk=i,kj=-i\\ki=j,ik=-j\end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧i2=j2=k2=−1ij=k,ji=−kjk=i,kj=−iki=j,ik=−j

如何表示旋转

空间内有一点 ppp 和一个由单位四元数 qqq 指定的旋转， ppp 经过 qqq 的旋转变成 p′p'p′ 。

将三维空间点用一个虚四元数表示，其中虚部就是 ppp 点的三维空间坐标
p=[0,x,y,z]T=[0,v]Tp=[0,x,y,z]^T=[0,v]^Tp=[0,x,y,z]T=[0,v]T
将四元数三个虚部与空间中的三个轴对应
旋转后的结果可表示为：
p′=qpq−1p'=qpq^{-1}p′=qpq−1
将 p′p'p′ 的虚部取出，得到旋转后的坐标

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