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Berlekamp-Massey算法，简称BM算法，可以在O(N2)O(N^2)O(N2)时间内求解一个数列的最短线性递推式。

教程

一篇讲的很详细的博客

Berlekamp-Massey算法

我们采用增量法构造数列{an}\{a_n\}{an}最短线性递推式。

假设现在已经得到了数列a1,a2,...,ai−1a_1,a_2,...,a_{i-1}a1,a2,...,ai−1的最短线性递推式，且在这之前递推式被修改过cntcntcnt次，设第kkk次修改后的递推式为RkR_kRk。

如果在加入aia_iai后原来的递推式仍然满足，也就是有∑k=1mrk∗ai−k=ai\sum_{k=1}^mr_k*a_{i-k}=a_ik=1∑mrk∗ai−k=ai
那么数列a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an的最短线性递推式就是RcntR_{cnt}Rcnt。

不然的话，表明第cntcntcnt次修改后的递推式在位置iii处出错。定义failkfail_{k}failk表示第kkk次修改后的递推式在failkfail_{k}failk处出错，显然有failcnt=ifail_{cnt}=ifailcnt=i，同时定义deltacnt=ai−∑k=1mrk∗ai−kdelta_{cnt}=a_i-\sum_{k=1}^mr_k*a_{i-k}deltacnt=ai−∑k=1mrk∗ai−k

如果cnt=0cnt=0cnt=0，表明aia_iai是数列中第一个非零元素，不难证明当前最短线性递推数列就是{0,0,...,0}\{0,0,...,0\}{0,0,...,0}也就是iii个000。

不然的话，我们可以考虑构造一个新的递推式R′R'R′，若对于任意m′+1≤j≤i−1m'+1\le j\le i-1m′+1≤j≤i−1有∑k=1m′rk′∗aj−k=0\sum_{k=1}^{m'}r'_{k}*a_{j-k}=0k=1∑m′rk′∗aj−k=0
且满足∑k=1m′rk′∗ai−k=deltacnt\sum_{k=1}^{m'}r'_k*a_{i-k}=delta_{cnt}k=1∑m′rk′∗ai−k=deltacnt

那么我们只要把RcntR_{cnt}Rcnt和R′R'R′的对应位分别相加就可以得到一个合法的线性递推式。

考虑通过以下方法构造R′R'R′：

设mul=deltacntdeltacnt−1mul=\frac{delta_{cnt}}{delta_{cnt-1}}mul=deltacnt−1deltacnt，使R′={0,0,...,0,mul,−mul∗Rcnt−1}R'=\{0,0,...,0,mul,-mul*R_{cnt-1}\}R′={0,0,...,0,mul,−mul∗Rcnt−1}，也就是最前面有i−failcnt−1−1i-fail_{cnt-1}-1i−failcnt−1−1个000，再把数列{1,−Rcnt−1}\{1,-R_{cnt-1}\}{1,−Rcnt−1}乘上mulmulmul后接到后面。

为什么这样的R′R'R′是合法的呢？

首先∑k=1m′rk′∗ai−k=mul∗deltacnt−1=deltacnt\sum_{k=1}^{m'}r'_k*a_{i-k}=mul*delta_{cnt-1}=delta_{cnt}k=1∑m′rk′∗ai−k=mul∗deltacnt−1=deltacnt
其次对于所有m′+1≤j≤i−1m'+1\le j\le i-1m′+1≤j≤i−1，设p=j−i+failcnt−1p=j-i+fail_{cnt-1}p=j−i+failcnt−1，有∑k=1m′rk′∗aj−k=mul∗(ap−∑k=1mcnt−1rcnt−1,k∗ap−k)\sum_{k=1}^{m'}r'_k*a_{j-k}=mul*(a_p-\sum_{k=1}^{m_{cnt-1}}r_{cnt-1,k}*a_{p-k})k=1∑m′rk′∗aj−k=mul∗(ap−k=1∑mcnt−1rcnt−1,k∗ap−k)
又因为Rcnt−1R_{cnt-1}Rcnt−1对于数列a1,...,afailcnt−1a_1,...,a_{fail_{cnt-1}}a1,...,afailcnt−1是一个合法的递推式，故上式等于000。

所以新的递推式就是R′+RcntR'+R_{cnt}R′+Rcnt。

后来发现这样求出的递推式并不是最短的。
可以发现∣R′∣=i−failcnt−1+∣Rcnt−1∣|R'|=i-fail_{cnt-1}+|R_{cnt-1}|∣R′∣=i−failcnt−1+∣Rcnt−1∣，既然要让新递推式尽量短，那么只要选择∣Rk∣−failk|R_{k}|-fail_{k}∣Rk∣−failk尽可能小的kkk来替代前面的cnt−1cnt-1cnt−1就好了。

代码

namespace BM
{int delta[N],fail[N];std::vector<int> r[N],t;std::vector<int> work(int n,int *a){int cnt=0,mx=0;for (int i=1;i<=n;i++){int w=a[i];for (int j=0;j<r[cnt].size();j++) (w+=MOD-(LL)r[cnt][j]*a[i-j-1]%MOD)%=MOD;if (!w) continue;delta[cnt]=w;fail[cnt]=i;if (!cnt) {r[++cnt].clear();r[cnt].resize(i);continue;}int mul=(LL)delta[cnt]*ksm(delta[mx],MOD-2)%MOD;t.clear();t.resize(i-fail[mx]-1);t.pb(mul);for (int j=0;j<r[mx].size();j++) t.pb(MOD-(LL)r[mx][j]*mul%MOD);if (t.size()<r[cnt].size()) t.resize(r[cnt].size());for (int j=0;j<r[cnt].size();j++) (t[j]+=r[cnt][j])%=MOD;if (r[cnt].size()-i<r[mx].size()-fail[mx]) mx=cnt;r[++cnt]=t;}return r[cnt];}
}

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