高等数学 函数的定义
设 ε 为任一给定的正数,则集合 {x x - a < ε } 称为点 a 的 ε 邻域,它表示以 a 点为中
心,以 ε 为半径的开区间,可用 ( a - ε , a + ε ) 表示;集合 {x x 0 < - < a ε } 称为点 a 的去心
邻域,该集合不含 a.
ε
(ε)
艾普西隆
球体体积v=4πR³/3
定义 1 设 x、 y 是同一过程中的两个变量, 若当 x 在数集 D 内取任一值时, 按某种规
则 f 总能惟一确定变量 y 的一个值与之对应,则称 y 是 x 的函数,记做
y = f(x)
称变量 x 是自变量,变量 y 是因变量.表示对应法则的 f 是函数的记号,集合 D 是函
数的定义域.
由定义看出,定义域与对应法则是函数概念的两大要素, 对于定义域 D 上的函数
y = f(x) ,集合
{y| y = f(x) , x∈D }
称为函数的值域,显然一个函数的值域由定义域及对应法则完全确定
分段函数是函数的一种特殊表达形式.当一个函数的自变量在定义域内不同区间上用
不同式子表示时,称该函数为分段函数.
定义 2 设函数 y = f(x) 的定义域 D 关于原点对称,即 x∈D x ⇔ - ∈ D ,
若 f (-x) = f (x) , x∈D ,则称 f (x) 为偶函数;
若 f (-x) = - f (x) , x∈D ,则称 f (x) 为奇函数.
注意定义域要关于原点对称
偶函数的图像关于 y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称.
两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数;两个奇函数之和、差仍是奇函数;两个奇
函数之积、商是偶函数;奇函数与偶函数之积、商是奇函数
定 义 3 给定 函 数 y = f(x) , x∈D , 若 存 在 常数 T, 使 得 x∈D ⇔ x+ T ∈ D 且
f (x+T)= f (x), , x∈D 则称 f (x) 为周期函数. 满足上述条件的最小正数 T 称为 f (x) 的周
期. 若某一函数 x,定义域为实数集,x取有理数时值为1,x取无理数时值为-1,他是周期函数吗,有最小周期吗?
ε
(ε)
艾普西隆
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