如何只用逻辑运算实现算术加减乘除运算

我们知道，在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。通过三种基本逻辑运算之间的组合运算，又可以构造出与非、或非、异或等常用运算。我们在编写计算机代码的时候，通过加减乘除运算符可以很容易地实现该基本运算，但是我们如何使用逻辑运算来实现算术加减乘除基本运算呢？

1、如何只用逻辑运算实现加法运算

在实现代码之前，我们先来分析一下加法的运算特点。例如，5和7求和，转换为二进制求和为101和111的求和，其二进制结果为1100，即十进制数12。对于二进制的加法而言，1+1=0,0+1=1,1+0=1,0+0=0，通过对比位运算中的异或运算，不难发现，此方法与位运算中的异或运算形式很类似，唯一不同是异或运算缺少了相应位置的进位。如果我们能够表示出进位，那么加法运算就可以转换成异或运算+进位运算。现在我们考虑如何表示出两位加数相应位置的进位，我们知道，只有1+1=10的时候会产生向高位的进位，其余三种情况进位都为0，那么该形式我们就可以用逻辑运算“与”来表示，为了表示出向高位进位的动作，我们需要将与出来的结果进行向左移位。简而言之，我们的转换思路是：num1+num2=nunm1^num2+(num1&num2)<<1。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int add(int num1,int num2);
void main()
{printf("%d",add(200,300)); system("pause");
}
int add(int num1,int num2)
{ if(0==num2) return num1;//若进位为0，运算结束 int temp=num1^num2; int carry=(num1&num2)<<1; return add(temp,carry);//若存在不为0的进位，则重复运算
}
//转换为非递归后的算法
int add2(int num1,int num2)
{int temp=0; int carry=0; while(num2!=0){ temp=num1^num2;carry=(num1&num2)<<1; num1=temp; num2=carry; } return num1;
}

2、如何只用逻辑运算实现减法运算

将减法转换为加法，实现方法与加法相同，如7-5=7+（-5）。

3、如何只用逻辑运算实现乘法运算

在开始本问题之前，我们先熟悉一些有关位运算的知识

（1）常用的等式：-n=~(n-1)=~n+1。

（2）获取整数n的二进制中的最后一个1：n&(-n)或n&~(n-1)。

（3）去掉整数n的二进制中的最后一个1：n&(n-1)。

我们还是先从一个例子开始分析，1011*1010，因为二进制运算的特殊性，可以将该乘法运算表达式拆分为两个运算，1011*1000和1011*0010的和，从而转换为左移运算，即乘法可以转换为移位和加法运算。最后一个1可以通过n&~(n-1)求得，可通过n&(n-1)去掉，为了高效地得到左移的位数，可以添加一个map容器，算法如下所示：

int multiply(int a ,int b)
{ int sum = 0; map<int, int> m_map; for(int i = 0; i < 32; i++) m_map.insert( pair<int,int>(1 << i, i) );//将int类型的32位状态加入map容器 while(b != 0){ int last_bit = m_map[b&~(b-1)];//取最后一个1的下标 sum += (a << last_bit);//完全只用逻辑运算的话，该句可以调用加法函数实现 b &= b-1; } if(a > 0 && b < 0 || a < 0 && b > 0) sum = -sum; return sum;
}

4、如何只用逻辑运算实现除法运算

（1）一般除法可以采用减法操作或移位操作实现。

减法操作就是循环用被除数减去除数，每减一次值加1，直到被除数小于除数为止。程序如下：

int div(int a,int b )
{ int result=0; if(b==0){ printf("error!"); return; } while(a>=b){ result++; a-=b; } return result;
}

（2）采用移位操作实现，位操作的效率一般都比较高效。

int div2( int a, int b)
{ int left_num = a; int result = 0; while(left_num>=b){ int mul=1;//乘数因子 while(b*mul<=(left_num>>1)) mul = mul << 1; result+=mul; left_num-=b*mul; } return result;
}

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